1、第三章数系的扩充与复数的引入测试卷本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知i为虚数单位，z为复数，下列叙述正确的是()Az为纯虚数B任何数的偶数次幂均为非负数Ci1的共轭复数为i1D23i的虚部为3解析：当z为实数时，A不正确；由i21，知B不正确；由共轭复数的定义知1i的共轭复数为1i，C不正确，由复数的定义知23i的虚部为3，D正确，故选D.答案：D2设复数z满足zi3i，则()A12iB12iC32i D32i解析：
2、由zi3i，得z32i，32i，故选C.答案：C3若z，则复数等于()A2i B2iC2i D2i解析：z2i，2i，故选D.答案：D4若复数1i，2i,32i在复平面上的对应点分别为A，B，C，BC的中点为D，则向量对应的复数是()A.i B.iCi Di解析：依题意A(1,1)，B(2,1)，C(3，2)，D是BC的中点，D，向量对应的复数是i，故选D.答案：D5设a是实数，且是实数，则a()A. B1C. D2解析：i是实数，0，解得a1，故选B.答案：B6定义运算adbc，则符合条件42i的复数z为()A3i B13iC3i D13i解析：由定义，得zizz(1i)42i，z(2i)(
3、1i)3i，故选A.答案：A7已知复数z，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由题可得zi，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限，故选C.答案：C8欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，设复数zei，根据欧拉公式可知，()Ai B.iC.i Di解析：因为zeicosisini，i，故选C.答案：C9计算的值是()A0 B1Ci D2i解析：原式3iii2
4、i，故选D.答案：D10已知i为虚数单位，复数z满足z(3i)2i，则下列说法正确的是()A复数z的模为2B复数z的共轭复数为iC复数z的虚部为D复数z在复平面内对应的点在第一象限解析：由题可得zi，所以复数z的虚部为，|z|，i，复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选D.答案：D11如果复数z满足|z3i|z3i|6，那么|z1i|的最小值是()A1 B.C2 D.解析：复数z满足|z3i|z3i|6，z的几何意义是以A(0,3)，B(0，3)为端点的线段AB，则|z1i|z(1i)|的几何意义为线段AB上的点到点C(1，1)的距离，由图象知，点C到线段AB的距离的最小值为1，故选A.
5、答案：A12已知复数z32i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2pxq0(p，q为实数)的一个根，则pq的值为()A22 B36C38 D42解析：由复数z32i是关于x的方程2x2pxq0(p，q为实数)的一个根，则32i也是方程2x2pxq0的根，由韦达定理得解得pq38，故选C.答案：C第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知i为复数单位，若复数z的共轭复数满足(1i)3i，则|z|_.解析：由题可得，则|z|答案：14若复数zm(m21)i(mR)满足z0，则m_.解析：复数zm(m21)i(mR)满足z0，解得m1.
6、答案：115若nN*，则4n4n_.解析：因为2i，2i，而i21，(i)21.所以4n4n(1)n(1)n2(1)n.当n为奇数时，原式2；当n为偶数时，原式2.答案：16设x，y为实数，且，则xy_.解析：x，y为实数，且，即，即ii，由实部与虚部分别相等，得解得xy4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17(10分)已知复数z，其中i是虚数单位(1)求复数z；(2)若z2azb1i，求实数a，b的值解析：(1)由题可得z1i.(2)把z1i代入z2azb1i，可得(1i)2a(1i)b1i，整理得ab(2a)i1i，所以，解得.18(12分
7、)已知mR，复数z(m22m3)(m21)i.(1)当实数m取什么值时，复数z为纯虚数；(2)若复数z在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围解析：(1)因为复数z为纯虚数，所以，解得m3，所以当m3时，复数z为纯虚数(2)因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，所以，解得1m1，所以当m(1,1)时，复数z在复平面内对应的点在第三象限19(12分)设z是虚数，wz是实数，且1w2，求|z|的值及z的实部的取值范围解析：因为z是虚数，所以可设zxyi(x、yR且y0)，可得wz(xyi)xyii，因为w是实数，且y0，所以y0，即x2y21，所以|z|1，此时w2x.由1w2得12x2
8、，所以x1，即z的实部的取值范围是.20(12分)在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状；(3)求ABC的面积解析：(1)对应的复数为(2i)11i.对应的复数为(12i)(2i)3i.对应的复数为(12i)122i.(2)由(1)可得：|，|，|2，所以|2|2|2，所以ABC为直角三角形(3)由(2)可知，三角形ABC为直角三角形，A为直角，所以S|22.21(12分)已知i为虚数单位，复数z1i.(1)如果wz234，求w；(2)如果1i，求实数a，b的值解析：(1)因为z1i，所以wz234(1i)23(1i)412i13
9、3i41i.(2)由z1i，可得a2(ab)i，因为1i，所以a2(ab)i1i，所以，解得.22(12分)已知关于t的一元二次方程t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹(2)求方程实根的取值范围解析：(1)设实根为t，则t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)，即(t22t2xy)(txy)i0.根据复数相等的充要条件，得由得tyx，代入得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22.所以所求的点(x，y)的轨迹方程是(x1)2(y1)22，轨迹是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(2)由得圆心为(1，1)，半径r，直线tyx与圆有公共点，从而应用，即|t2|2，所以4t0，故方程实根的取值范围是4,0