1、高考资源网（） 您身边的高考专家32.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义填一填1.复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，交换律：z1z2z2z1.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)2复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是，与z1z2对应的向量是.判一判1.两个虚数的和或差可能是实数()2若复数z1，z2满足z1z20，则z1z2.()3在进行
2、复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()4复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形()5复数的减法不满足结合律，即(z1z2)z3z1(z2z3)可能不成立()6复数的加减法法则与实数的多项式的加法法则类似，也就是合并同类项()7复数与向量一一对应()8一个向量平移后，其对应的复数会随之发生变化()想一想1.复数加、减运算的思路是什么？两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)2复数加、减运算中的易错点有
3、哪些？(1)在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差注意中间用“”号，如z1abi，z2cdi，z1z2(ac)(bd)i，而不是z1z2(ac)(bd)i(a，b，c，dR)(2)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加3复数加、减法的几何意义是什么？(1)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(2)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量，的终点，并指向的终点的向量所对应的复数4利用复数加、减运算
4、的几何意义解题的技巧有什么？形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中感悟体会练一练1.若z35i82i，则z等于()A87i B53iC117i D87i解析：z82i35i117i，故选C.答案：C2已知复数z132i，z213i，则复数zz1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：zz1z2(32i)(13i)25i，复数z在复平面内对应的点为(2,5)，位于第一象限，故选A.答案：A3复数z1cos i，z2sin i，R，则|z1z2|的最大值为
5、()A5 B.C6 D.解析：|z1z2|(cos sin )2i|，|z1z2|max，故选D.答案：D4已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z等于()A3 B3C3i D3i解析：设zxyi，x，yR，则z3ix(y3)i，因为z3i是纯虚数，所以即又因为|z|3，所以x0，y3，即z3i，故选D.答案：D知识点一复数的加减运算1.复数z1a4i，z23bi，若它们的和是实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()Aa3，b4Ba3，b4Ca3，b4 Da3，b4解析：z1z2(a4i)(3bi)(a3)(b4)i为实数，z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i为纯虚数，解得故选A.答案：
6、A2已知i为虚数单位，计算：(abi)(2a3bi)3i(a，bR)解析：(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.知识点二复数加减运算的几何意义3.如图，设向量，所对应的复数为z1，z2，z3，那么()Az1z2z30Bz1z2z30Cz2z1z30Dz1z2z30解析：由题图可知，且0，z2(z1z3)0，即z1z2z30，故选D.答案：D4如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，求：(1)表示的复数；(2)对角线表示的复数；(3)对角线表示的复数解析：(1)因为，且表示的复数为32i，所以表示的复数为32i.(2)因为，表示的复数
7、为32i，表示的复数为24i，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，表示的复数为32i，表示的复数为24i，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)16i.知识点三复数模的最值问题5.若|z1|z1|，则|z1|的最小值是_解析：方法一：设zabi，(a，bR)，则|(a1)bi|(a1)bi|.所以，即a0，所以zbi，bR，所以|z1|min|bi1|min，故当b0时，|z1|的最小值为1.方法二：因为|z1|z1|，所以z的轨迹为以(1,0)，(1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y轴，|z1|表示y轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.答案：16
8、已知|z|2，求|z1i|的最大值和最小值解析：设zxyi(x，yR)，则由|z|2知x2y24，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z1i|表示点(x，y)到点(1，)的距离又因为点(1，)在圆x2y24上，所以圆上的点到点(1，)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z1i|的最大值和最小值分别为4和0.综合知识复数加减运算几何定义的综合应用7.复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC是钝角，求实数c的取值范围解析：在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c6)，由BAC是钝角，得cosBAC0，且A，B
9、，C不共线，cosBAC0，即|AB|2|AC|2|BC|20.由两点间的距离公式，得25(3c)2(42c6)2c2(2c6)2.其中当c9时，此时A，B，C三点共线，故c9.所以c的取值范围是.8在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z135i，z212i.(1)求对应的复数(2)求对应的复数(3)求平行四边形ABCD的面积解析：(1)由于，所以.故对应的复数为zz1z2(35i)(12i)43i.(2)由于，所以对应的复数为(43i)(12i)5i.(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，(1,2)，(4,3)，所以cosDAB.因此sinDAB.所以平行四边形ABCD的
10、面积S|sinDAB511.基础达标一、选择题1已知复数z对应的向量如图所示，则复数z1所对应的向量表示正确的是()解析：由题图知，z2i，所以z1(2i)11i，其对应向量表示正确的为A选项答案：A2设复数z满足|z34i|1，则|z|的最大值是()A3B4C5 D6解析：因为|z34i|1，所以复数z所对应的点在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，由几何性质可知|z|的最大值为点(3,4)到原点的距离加上半径1，|z|max16，故选D.答案：D3|(32i)(1i)|表示()A点(3,2)与点(1,1)之间的距离B点(3,2)与点(1，1)之间的距离C点(3,2)到原点的距离D以上都不对
11、解析：由复数加、减运算的几何意义知，|(32i)(1i)|表示复数32i和1i对应的两点(3,2)和(1,1)之间的距离，故选A.答案：A4设mR，复数z(2m23i)(mm2i)(12mi)，若z为纯虚数，则m等于()A. B3C1 D1或3解析：z(2m23i)(mm2i)(12mi)(2m2m1)(3m22m)i，mR且z为纯虚数，解得m，故选A.答案：A5设z12bi，z2ai，a，bR，当z1z20时，复数abi为()A1i B2iC3 D2i解析：z1z2(2bi)(ai)(2a)(b1)i0，a，bR，解得abi2i，故选D.答案：D6复数z11icos ，z2sin i，则|z
12、1z2|的最大值为()A32 B.1C32 D.1解析：|z1z2|(1icos )(sin i)|(1sin )(cos 1)i|1，|z1z2|max1，故选D.答案：D7已知复数zxyi满足|z1|x，那么z在复平面对应的点(x，y)的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：因为zxyi满足|z1|x，所以|x1yi|x，即x，平方整理，得y22x1，所以z在复平面对应的点的轨迹是抛物线，故选D.答案：D二、填空题8已知向量和向量对应的复数分别为34i和2i，则向量对应的复数为_解析：因为，所以对应复数为(2i)(34i)15i.答案：15i9在复平面内，若、对应的复数分别为7i、
13、32i，则|_.解析：|43i|5.答案：510已知|z|4，且z2i是实数，则复数z_.解析：设zabi(a，bR)，则z2ia(b2)i，因为z2i是实数，所以b2，又|z|4，所以a2b216，所以a2.所以z22i.答案：22i11在复平面内，复数z1、z2、z的对应点分别为Z1、Z2、Z，已知，z11ai，z2b2i，z34i(a，bR)，则ab_.解析：由条件知zz1z2，所以(1ai)(b2i)34i，即(1b)(a2)i34i，由复数相等的条件知，1b3且a24，解得a6，b2，ab8.答案：812已知 z1cos isin ，z2cos isin ，为实数，且z1z2i，则c
14、os()的值为_解析：z1cos isin ，z2cos isin ，z1z2(cos cos )(sin sin )ii，由22得22cos cos 2sin sin 22(cos cos sin sin )22cos()1，解得cos().答案：三、解答题13计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)解析：(1)(12i)(34i)(56i)(135)(246)i18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.14已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值解析：方法一：设wz34i，则zw34i.从而z1iw45i.又|z1i|1，所以|w4
15、5i|1.可知w对应的点的轨迹是以(4,5)为圆心，1为半径的圆如图所示，因为|w|max1，|w|min1.方法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以N(1,1)为圆心，1为半径的圆，又|z34i|z(34i)|表示复数z对应的点到点(3，4)的距离，在圆上与(3，4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图所示所以|z34i|max|MN|11.|z34i|min|MN|11.能力提升15.已知复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面上的对应点是正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解析：设正方形的第四个点D对应的复数为xyi(x，yR)，所以对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，对应的复数为(12i)(2i)13i，因为，所以(x1)(y2)i13i，所以所以所以正方形的第四个顶点对应的复数为2i.16设zabi(a，bR)，且4(abi)2(abi)3i，又sin icos ，求z的值和|z|的取值范围解析：因为4(abi)2(abi)3i，所以6a2bi3i，所以所以所以zi，所以z(sin icos )i，所以|z| ，因为1sin1，所以022sin4，所以0|z|2，故所求得zi，|z|的取值范围是0,2- 8 - 版权所有高考资源网