1、2015-2016学年天津市静海一中高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：（每小题4分，共28分）.1设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）Ac，若c，则Bb，c，若c，则bcCb，若b，则Da，b，ab=P，ca，cb，若，则c2已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）A0B8C2D103条件甲：“a0且b0”，条件乙：“方程=1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个
2、几何体的全面积是（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm25如果椭圆的两焦点为F1（1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（）A =1B =1C =1D =16若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，）D（，0）（，+）7设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）二、填空题：每小题4分，共20分.8设坐标原点为O，抛物线y2=2
3、x与过焦点的直线交于A，B两点，则=9过椭圆的左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e=10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为CD、DD1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为11在三棱锥PABC中，PA=PB=PC=，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为12已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为三、解答题：共5题，共57分13已知直线l1的方程为3x+4y12=0，（1）求l2的方程，使得：l2与l1平行，且过点（1，3）；l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4
4、；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程14已知命题p：当xR时，不等式x22x+1m0恒成立：命题q：方程x2（m+2）y2=1表示双曲线，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围15如图，在三棱锥PABC中，APB=90，PAB=60，AB=BC=CA，平面PAB平面ABC（）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（）求二面角BAPC的大小16已知点P（x，y）在圆x2+y26x6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值17如图，在四棱锥PABCD
5、中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60（1）若PA=AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长四、提高题（共15分）18已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，与双曲线有相同的焦点（I）求椭圆C的标准方程；（II）过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且|+N|=，求直线l的方程（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由2015-2016学年天津市静海一中高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：
6、（每小题4分，共28分）.1设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）Ac，若c，则Bb，c，若c，则bcCb，若b，则Da，b，ab=P，ca，cb，若，则c【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】根据面面平行的几何特征及线面垂直的性质，可判断A；根据线面平行的判定定理，可判断B；根据面面垂直的几何特征，可判断C；根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，可判断D【解答】解：A的逆命题为c，若，则c，根据面面平行的几何特征及线面垂直的性质，可得其逆命题成立；B的逆命题为b，c，若bc，则c，根据线
7、面平行的判定定理，可得其逆命题成立；C的逆命题为b，若，则b，根据面面垂直的几何特征，当b与两平面的交线不垂直时，结论不成立，故C的逆命题不成立；D的逆命题为a，b，ab=P，ca，cb，即c，若c，则，由面面垂直的判定定理，可得其逆命题成立；故选C2已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）A0B8C2D10【考点】斜率的计算公式【分析】因为过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，所以，两直线的斜率相等【解答】解：直线2x+y1=0的斜率等于2，过点A（2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是2，=2，解得，故选 B3条件甲：“a0
8、且b0”，条件乙：“方程=1表示双曲线”，那么甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由双曲线方程的特点可知甲可推出乙而乙不可可推出甲，由充要条件的定义可判【解答】解：“a0且b0”，可推得“方程=1表示双曲线”，即甲可推出乙，而“方程=1表示双曲线”不能推出“a0且b0”，即乙不可可推出甲，故甲是乙的充分不必要条件故选：A4已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的全面积是（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意
9、，这个组合体是由棱柱与半圆柱组成，棱柱的底面为矩形，长为8，宽为10，棱柱的高为8，半圆柱，底面圆的半径为4，高为10，由此可求这个组合体的全面积【解答】解：从该几何体的三视图可知，这个几何体是由两部分构成的，下部分是长方体，上部分是半个圆柱且长方体的三边长分别为8cm，10cm，8cm，半个圆柱的底面半径为4cm，高为10cm所以其全面积为cm2故选B5如果椭圆的两焦点为F1（1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（）A =1B =1C =1D =1【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【分析】利用已知条件结合椭圆的简单
10、性质，椭圆的定义求解椭圆的标准方程即可【解答】解：由|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，即2a=4，a=2，b2=3椭圆方程为=1故选：B6若抛物线y2=2px上恒有关于直线x+y1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（0，）D（，0）（，+）【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】设出A，B两点的坐标，因为A，B在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB中点的纵坐标，又AB的中点在直线x+y1=0上，代入后求其横坐标，然后由AB中点在抛物线内部列不等式求得实数p的取值范围【解答】解：设A（x1，y1）
11、，B（x2，y2），因为点A和B在抛物线上，所以有得，整理得，因为A，B关于直线x+y1=0对称，所以kAB=1，即所以y1+y2=2p设AB的中点为M（x0，y0），则又M在直线x+y1=0上，所以x0=1y0=1p则M（1p，p）因为M在抛物线内部，所以即p22p（1p）0，解得0p所以p的取值范围是（）故选C7设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）【考点】直线与圆的位置关系【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于
12、圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围【解答】解：由圆的方程（x1）2+（y1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆相切，圆心到直线的距离d=1，整理得：m+n+1=mn，设m+n=x，则有x+1，即x24x40，x24x4=0的解为：x1=2+2，x2=22，不等式变形得：（x22）（x2+2）0，解得：x2+2或x22，则m+n的取值范围为（，222+2，+）故选D二、填空题：每小题4分，共20分.8设坐标原点为O，抛物线y2=2
13、x与过焦点的直线交于A，B两点，则=【考点】抛物线的简单性质【分析】法一：根据抛物线的标准方程，求出焦点F（，0 ），当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，1），求得 的值，结合填空题的特点，得出结论法二：由抛物线y2=2x与过其焦点（，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标， =x1x2+y1y2，由韦达定理可以求得答案【解答】解：法一：抛物线y2=2x的焦点F（，0 ），当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，1），=（，1）（，1）=1=，法二：由题意知，抛物线y2=2x的焦点坐标为（，0），直线AB的方程为y=k（
14、x），由得k2x2（k2+2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=k（x1）k（x2）=k2x1x2（x1+x2）+=x1x2+y1y2=，故答案为：9过椭圆的左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率e=【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的共同特征；直线与圆锥曲线的关系【分析】设椭圆的左准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BGAC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角ABG中，BAG=60，可求出边之间的长度之比，可得离心率的值【解答】解：如图，设设椭圆的左准线为l，过A点作ACl于C，过点B作BDl于D，再
15、过B点作BGAC于G，直角ABG中，BAG=60，所以AB=2AG，由圆锥曲线统一定义得：，AC=2BD直角梯形ABDC中，AG=ACBD=、比较，可得AB=AC，又答：所求的离心率为 10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为CD、DD1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】取AD中点G，连结GF、GE，由正方体的性质，可得GEF就是异面直线EF与A1C1所成角设正方体的棱长等于2，可得GEF是边长等于的等边三角形，从而可得GEF=60，由此即得异面直线EF与A1C1所成角的余弦值【解答】解：取AD中点G，连结GF、GE由正方体的性质，
16、可得EGA1C1，GEF就是异面直线EF与A1C1所成角设正方体的棱长等于2，可得GEF中，GE=GF=EF=GEF=60，得cosGEF=即异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为故答案为：11在三棱锥PABC中，PA=PB=PC=，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为【考点】球的体积和表面积【分析】过点P作PH平面ABC于H，可得PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得PAH=60由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，连接OA，可得POA是底角等于30的等腰三角形，从而得到外接球的半径R=OA=1，再用球的体积公式可得该三棱锥外接球的体积【解答】解：过点P作P
17、H平面ABC于H，则AH是PA在平面ABC内的射影，PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得PAH=60，RtPAH中，AH=PAcos60=，PH=PAsin60=，设三棱锥外接球的球心为O，PA=PB=PC，P在平面ABC内的射影H是ABC的外心，由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OCPOA中，OP=OA，OAP=OPA=30，可得PA=OA=三棱锥外接球的半径R=OA=1因此该三棱锥外接球的体积为V=R3=，故答案为：12已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作
18、垂线，垂足分别为B、C，根据比例线段的性质可知进而求得a和c的关系，则离心率可得【解答】解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：故答案为3三、解答题：共5题，共57分13已知直线l1的方程为3x+4y12=0，（1）求l2的方程，使得：l2与l1平行，且过点（1，3）；l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程【分析】（1）利用平行直线系方程特点设出方程，结合条件，用待定系数法求出待定系数（2）直线l1与两坐标
19、轴分别交于A、B 两点，即A（0，3），B（4，0），即可求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及外接圆的方程【解答】解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，以x=1，y=3代入，得3+12+m=0，即得m=9，直线l2的方程为3x+4y9=0由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x3y+n=0，令y=0，得x=，令x=0，得y=，故三角形面积S=4得n2=96，即n=4直线l2的方程是4x3y+4=0或4x3y4=0（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B 两点，即A（0，3），B（4，0），设内切圆的圆心坐标为（a，a），则，a=，三角形OAB（O为坐标原点）内切
20、圆的方程为（x）2+（y）2=；外接圆的圆心坐标为（2，1.5），外接圆的方程为（x2）2+（y1.5）2=6.2514已知命题p：当xR时，不等式x22x+1m0恒成立：命题q：方程x2（m+2）y2=1表示双曲线，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】先求出命题p，q为真命题是的等价条件，然后利用p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围【解答】解：当xR时，不等式x22x+1m0恒成立，则=44（1m）0，解得m0，即p：m0方程x2（m+2）y2=1表示双曲线，则m+20，解得m2即q：m2因为p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q
21、一真一假若p真q假，则m2，若p假q真，则m0综上m2或m015如图，在三棱锥PABC中，APB=90，PAB=60，AB=BC=CA，平面PAB平面ABC（）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（）求二面角BAPC的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角【分析】解法一（）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD可以证出OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4在RTOCP中求解（）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解解法二（）设AB中点为D，连接CD
22、以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz利用与平面ABC的一个法向量夹角求解（）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解【解答】解法一（）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD因为AB=BC=CA，所以CDAB，因为APB=90，PAB=60，所以PAD为等边三角形，所以POAD，又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=ADPO平面ABC，OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4所以CD=2，OC=在RTOCP中，tanOCP=故直线PC与平面ABC所成的角的大小为ar
23、ctan（）过D作DEAP于E，连接CE由已知，可得CD平面PAB根据三垂线定理知，CEPA所以CED为二面角BAPC的平面角由（）知，DE=，在RTCDE中，tanCED=2，故二面角BAPC的大小为arctan2解法二：（）设AB中点为D，连接CD因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO平面ABC，所以POAB，且POCD因为AB=BC=CA，所以CDAB，设E为AC中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O（0
24、，0，0），A（1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（1，2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量设为直线PC与平面ABC所成的角，则sin=故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin（）由（）知， =（1，0，），=（2，2，0）设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=，则y=1，z=1，所以=（，1，1）设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cos=故二面角BAPC的大小为arccos16已知点P（x，y）在圆x2+y26x6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最
25、大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）求得已知圆的圆心和半径，设k=，即kxy=0，则圆心到直线的距离dr，加上即可得到最值；（2）x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2表示点（x，y）与A（1，0）的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，可得AB最短，AD最长，加上即可得到所求最值；（3）化简可得（x3）2+（y3）2=4，从而令x3=2cosa，y3=2sina，从而利用三角函数求最值【解答】解：如图示：，（1）圆x2+y26x6y+14=0即为（x3）2+（y3）2=4，可得圆心为C（3，3），半径为r=2，设k=
26、，即kxy=0，则圆心到直线的距离dr，即2，平方得5k218k+50，解得：k，故的最大值是，最小值为；（2）x2+y2+2x+3=（x+1）2+y2+2表示点（x，y）与A（1，0）的距离的平方加上2，连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，可得AB为最短，且为|AC|r=2=3，AD为最长，且为|AC|+r=5+2=7，则x2+y2+2x+3 的最大值为72+2=51，x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11；（3）圆x2+y26x6y+14=0即为（x3）2+（y3）2=4，令x3=2cosa，y3=2sina，则x+y=6+2（cosa+sina）=6+2sin（a+），1si
27、n（a+）1，626+2sin（a+）6+2，x+y的最大值为6+2，最小值为6217如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60（1）若PA=AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（1）设ACBD=O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出PB与平面PDC所成角的正弦值（2）求出平面PBC的法向量和平面PDC的法向量，利用向量法能求出PA的长【解答】解：（1）设ACBD=O，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面AB
28、CD是菱形，PA=AB=2，BAD=60BO=1，AO=CO=，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则 P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0），D（1，0，0）=（1，2），=（1，2），=（0，2，2），设平面PDC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，3），设PB与平面PDC所成角为，则sin=PB与平面PDC所成角的正弦值为（2）由（1）知=（1，0），设P（0，t）（t0），则=（1，t），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），同理，平面PDC的法向量=（3，），平面PCB平面PDC，=9+3+=0，解得t=，PA=
29、四、提高题（共15分）18已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，与双曲线有相同的焦点（I）求椭圆C的标准方程；（II）过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且|+N|=，求直线l的方程（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）由双曲线方程求出椭圆的焦点，结合离心率求得a，b的值，则椭圆方程可求；（II）设出过F1的直线l的方程，与椭圆方程联立，由向量的模列式求得直线的斜率得答案；（）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x
30、1，y1），B（x2，y2）且OAOB，然后分当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，与x2+2y2=2联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，利用向量垂直与数量积间的关系求得直线方程，已知切线垂直x轴时得答案【解答】解：（）由双曲线，得，c=1，又，得a=，b2=1，故椭圆C的标准方程为；（）由（）得F1（1，0），设过点F1（1，0）的直线l：y=k（x+1），由消去y，得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，设M（x1y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=k（x1+x2+2）=，由于F2（1，0），|+N|=，则=（x11，y1
31、），=（x21，y2），即有（x1+x22）2+（y1+y2）2=，即有（2）2+（）2=，解得k2=1检验：=16k44（1+2k2）（2k22）=160，故k=1则直线l的方程为：y=x+1或y=x1；（）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）且OAOB，当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，与x2+2y2=2联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，=8（2k2m2+1）0，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，=x1x2+y1y2=0，3m22k22=0，则2k2=3m22，对任意k，符合条件的m满足，即m或m，直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，圆的半径为r=， =，所求的圆为，此时该圆的切线y=kx+m都满足m或m，所求的圆为，当切线的斜率不存在时，切线x=，与椭圆x2+2y2=2的两个交点为（，）或（，），满足OAOB，综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2）且OAOB2016年10月12日