1、天津南开中学2020届高三第一次月考数学试卷一、选择题（共9小题：共45分）1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合、，再利用交集和补集的定义求出集合.【详解】解不等式，即，得，.解不等式，解得，则，因此，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.2.“成立”是“成立”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|2得-1x3，由x（x-3）
2、0得0x3，所以“|x-1|2成立”是“x（x-3）0成立”的必要不充分条件考点：1解不等式；2充分条件与必要条件【此处有视频，请去附件查看】3.已知，命题，则（ ）A. 是假命题，B. 是假命题，C. 是真命题，D. 是真命题，【答案】D【解析】试题分析：，当，因此是减函数，所以，命题是真命题，是：，故选D考点：命题的真假，命题的否定4.已知，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】，所以，选D.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若对于任意，恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为是偶函数，所以不等式可化为，又在上单调递增，所以，而的最小值
3、为1，所以，解得6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.7.设函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析函数和的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出与的正负.【详解】，则函数为增函数，且，由零点存在定理知.，则，所以，函数为增函数，且，又，由零点存在定理可知.，因此，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性
4、与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8.设实数分别满足，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，则在上单调递增，且，即，在同一坐标系中作出的图象，由图象，得，即；故选C.点睛：在涉及超越方程求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定的根的取值范围，就转化为和的图象交点问题.9.已知函数，若关于方程有两个解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】关于的方程有两个解，等价于和有两个交点，如图所示：作出函数的图象，由图可得时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与有两个交点的
5、临界位置为两者相切时，联立两者方程得：，由解得，切点坐标为和且，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足，综上可得，故选A.二、填空题（共6小题：共30分）10.设复数满足，则_【答案】【解析】分析：根据条件先将z的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：点睛：考查复数的计算，属于基础题.11.展开式的常数项为 （用数字作答）【答案】-160【解析】【详解】由，令得，所以展开式的常数项为.考点：二项式定理.【此处有视频，请去附件查看】12.在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是_.【答案】.【解析】【
6、分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，当时，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点13.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则不等式的解集是 【答案】【解析】试题分析：由图知，当时，
7、,由得即所以不等式解集为考点：利用函数性质解不等式14.已知函数若存在实数a，使函数g(x)=f(x)-a有两个零点，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意得直线和函数的图象有两个交点，故函数在定义域内不能是单调函数在同一坐标系内画出函数和的图象，结合图象可得所求的结果【详解】有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或当时,函数的图象如图所示，此时存在满足题意，故满足题意当时,由于函数在定义域R上单调递增，故不符合题意当时,函数单调递增，故不符合题意时,单调递增，故不符合题意当时,函数的图象如图所示,此时存在使得与有两个交点综上可得或所以实数的取值范围是【点睛】已知
8、函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用15.函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为_。【答案】【解析】由题设可将问题转化为，即，令，则，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，即在时取得最小值。由于时，所以结合图形可知当时，其解中恰好含一个整数，故应填答
9、案。点睛：解答本题的思路是先借助导数这一工具分析研究函数的图像的变化规律，再将不等式在平面直角坐标系中表示出来，然后借助图形的直观，数形结合建立不等式组，然后通过解不等式组从而使得问题获解。三、解答题（共5小题：共75分）16.在中，内角所对的边分别为.已知，.（）求和的值；（）求的值.【答案】（）.=.（）.【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值为，的值为.（）解：由（）及
10、，得，所以，.故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17.如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，平面，为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
11、计算出，可证明出；（2）计算出平面和平面的法向量、，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦定理，利用同角三角函数的基本关系可得出其正弦值；（3）设，计算出，利用空间向量法并结合条件直线与平面所成角正弦值为，求出的值，即可求出.【详解】（1）如图所示，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，依题意得，.易得，于是，所以；（2）易得.设平面的法向量为，,则，消去，得，不妨取，可得法向量.由（1）知，又，可得平面，故为平面的一个法向量.于是，从而，故二面角的平面角的正弦值为；（3）易得，.设，则有，可取为平面的一个法向量，设为直线与平面所成的角，则，于是（舍去），则，所以.【点睛】本
12、题考查异面直线垂直、二面角的计算以及直线与平面所成角的动点问题，可以利用空间向量法来进行等价转化与计算，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知数列的前项和是，且.数列是公差不等于的等差数列，且满足：，成等比数列.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一问利用题中的条件，类比着写出，两式相减求得相邻两项的关系，从而确定出数列是等比数列，再令求得首项，利用等比数列的通项公式求得结果，对于，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果，第二问涉及到等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法-错位相减法.详解：（1）时，时，（）
13、是以为首项，为公比的等比数列，又得：，因为解得，（2）点睛：该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有项.19.设函数.（1）求f（x）的单调区间；（2）若当时，不等式f （x）m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）x2+x+a在区间0，2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围【答案】（1）递增区间是（-2,-1）,（0，+），递减区间是.（2）me22（3）22ln2a32ln3【解析】【分析】（1）已知f（x）（
14、1+x）2ln（1+x）2求出函数的导数f（x），然后令f（x）0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；（2）由题意当时，不等式f （x）m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；（3）将原式变形转化得方程g（x）xa+12ln（1+x）0在区间0，2上恰好有两个相异的实根，结合函数的单调性及图象，得到，从而求出实数a的取值范围【详解】（1）函数的定义域为，由f（x）0，得x0或-2x-1；由f（x）0，得1x0或x-2f（x）的递增区间是（-2,-1）,（0，+），递减区间是.（2）由，得x0，x2（舍去）由（1）知f（x）在上递减，在
15、0，e1上递增又，f（e1）e22，且当时，f（x）最大值为e22故当me22时，不等式f（x）m恒成立 （3）方程f（x）x2+x+a，xa+12ln（1+x）0记g（x）xa+12ln（1+x），由g（x）0，得x1或x1（舍去）由g（x）0，得1x1g（x）在0，1上递减，在1，2上递增为使方程f（x）x2+x+a在区间0，2上恰好有两个相异的实根，只须g（x）0在0，1和（1，2上各有一个实数根，于是有22ln232ln3，实数a的取值范围是22ln2a32ln3【点睛】本题主要考查对数函数导数，考查了利用导数研究函数单调性、最值及方程根的分布问题，考查了运算求解能力、推理论证能力及分
16、析与解决问题的能力，考查了数形结合的思想、化归与转化思想，属于难题20.已知函数在点处的切线方程为.（1）求、；（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若关于的方程有两个实数根，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）将点代入切线方程得出，并求出函数的导数，由求出、的值；（2）求出点的坐标，并利用导数求出函数在点处切线对应的函数，然后构造函数，利用导数证明出；（3）求出方程的根，利用函数的单调性证明出，设函数在原点处的切线对应的函数为，易得的根为，由函数的单调性得出，再利用不等式的性质可证明结论成
17、立.【详解】（1）将代入切线方程中，有，所以，即，又，所以，若，则，与矛盾，故；（2）由（1）可知，令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为.曲线在点处的切线方程为，则，令，则，所以，.当时，若，若，在上单调递增，故，在上单调递减，当时，由知在时单调递增，函数在上单调递增.所以，即成立；（3），设的根为，则，又单调递减，且，所以，设曲线在点处的切线方程为，有，令，当时，当时，故函数在上单调递增，又，所以当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，设的根为，则，又函数单调递增，故，故.又，所以.【点睛】本题考查导数的应用：求切线的斜率和单调性，考查不等式的证明，注意运用方程和函数的转化思想和构造函数法，考查分类讨论思想，以及运算能力，属于难题.
