1、17.1定积分在几何中的应用填一填定积分与平面图形面积的关系1求由一条曲线yf(x)和直线xa、xb(a0，f(x)dx0，因此面积Sf(x)dx；图中，f(x)0，f(x)dx0，因此面积Sf(x)dx；图中，当axc时，f(x)0，当c0，因此面积S|f(x)|dxf(x)dxf(x)dx.2求由两条曲线f(x)和g(x)，直线xa、xb(ag(x)0，图中，f(x)0，g(x)0，这两种情况下，都有面积Sf(x)g(x)dx.判一判1.当f(x)0时，f(x)与xa，xb(ab)及x轴所围图形的面积为.()2曲线y与直线yx围成的图形的面积为(x)dx.()3用微积分基本定理计算定积分，
2、求平面图形的面积时，与f(x)的正、负无关()4曲线yx3与直线xy2，y0围成的图形面积为x3dx(2x)dx.()5定积分一定是曲边梯形的面积()6在区间a，b上连续的曲线f(x)和直线xa，xb，(ab)所围成的曲边梯形的面积S|f(x)|dx.()想一想1.求定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积有何区别？定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积一定是非负的2不分割型图形面积的求解步骤有哪些？(1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积3分割型图形面积的求解的两个注意点是什么？(1)正确
3、画出图形是解决此类题目的关键一步；(2)根据平面图形的上、下边界把平面图形进行分割，然后把每一部分的面积用定积分表示4分割求解图形面积的解题技巧有什么？由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”感悟体会练一练1.由直线x，x2，曲线y及x轴所围图形的面积为()A. B.C.ln 2 D2ln 2解析：依题意，得Sln 2ln2ln 2，故选D.答案：D2由曲线yx21、直线x0、x2和x轴围成的封闭图形的面积是
4、()A.(x21)dxB.C.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx解析：曲线yx21，直线x0、x2和x轴围成的封闭图形为图中所示的阴影部分，将yx21位于x轴下方的阴影部分对折到x轴上方得到y|x21|对应的定积分为正，即封闭图形的面积S|x21|dx.故选C.答案：C3椭圆1所围区域的面积为()A18 B12C6 D24解析：由1，得y，由椭圆的对称性知，椭圆的面积S4dx3dx，令y，则x2y216(y0,0x4)，由定积分的几何意义知，dx表示直线x0，x4，x轴及曲线x2y216(y0)所围成图形的面积dx424，S3412，故选B.答案：B知识点一利用定积分求曲边梯形的面
5、积1.直线x，x，y0及曲线ycos x所围成图形的面积_解析：由题意作出图形如图所示，由图形面积为(11)2.答案：22设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解析：(1)因为yf(x)是二次函数，且f(x)2x2，所以设f(x)x22xc.又f(x)0有两个等根，所以44c0，得c1，所以f(x)x22x1.(2)yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为 (x22x1)dx.知识点二利用定积分求两条曲线围成图形的面积3.如图，两曲线y3x2与yx22x1所围成的图形面积是()
6、A6 B9C12 D3解析：由得或两曲线所围成的阴影部分的面积S1(3x2)(x22x1)dx1(2x22x4)dx9，故选B.答案：B4曲线y2x与直线yx所围图形的面积为_解析：如图所示，由得交点坐标为O(0,0)，A(4,2)，所以Sdx.答案：知识点三利用定积分求多条曲线围成图形的面积5.抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围图形的面积为_解析：对yx24x3求导，得y2x4，抛物线yx24x3在点A(1,0)和点B(3,0)处的两条切线的斜率分别为2，2.抛物线yx24x3在点A(1,0)和点B(3,0)处的两条切线方程分别为：l1：2xy20，l22xy
7、60，由得交点C(2,2)SSABC(x24x3)dx222.答案：6求由曲线y与直线y2x，yx围成的图形的面积解析：在同一平面直角坐标系内作出曲线y，直线y2x，yx的图象如图所示由得A(1,1)；由得O(0,0)；由得B(3，1)所求图形的面积Sdxdx632.综合知识定积分在几何中的应用7.如图曲线ysin x，ycos x和直线x0，x所围成的阴影部分平面区域的面积为()解析：根据函数ysin x，ycos x的对称性，知曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面区域的面积S为：曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面区域的面积的两倍，S (cos xs
8、in x)dx，故选D.答案：D8已知函数f(x)求曲线yf(x)与x轴，直线x0，x2所围成的图形的面积解析：作出函数图象如图所示，Sf(x)dxf(x)dxf(x)dxx3dxdxx.基础达标一、选择题1在下面所给图形的面积S及相应的表达式中，正确的有()Sf(x)g(x)dxS(22x8)dxSf(x)dxf(x)dxSg(x)f(x)dxf(x)g(x)dxABC D解析：中的面积Sf(x)g(x)dx，中的面积S2dx(22x8)dx，和正确，故选D.答案：D2由抛物线yx2x，直线x1，x1及x轴围成的图形面积为()A. B1C. D.解析：作出抛物线yx2x与直线x1，x1的图象
9、如图，则所求图形的面积S (x2x)dx|x2x|dx (x2x)dx(xx2)dx001，故选B.答案：B3如图所示，阴影部分的面积是()A2 B22C. D.解析：依题意，阴影部分的面积S (3x22x)dx9，故选C.答案：C4曲线yx3与直线yx所围成的图形的面积等于()A. (xx3)dx B. (x3x)dxC2(xx3)dx D2 (xx3)dx解析：由图象可知，当x(0,1)时，yx的图象在yx3图象的上方，根据对称性知，选项C正确答案：C5由yx2，y，y1所围成的图形的面积为()A. B.C2 D1解析：因为曲线yx2，y及直线y1均关于y轴对称，所以它们所围成的图形关于y
10、轴对称，如图所示，所以S22，故选A.答案：A6如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A. B.C. D.解析：正方形OABC的面积S1，阴影部分的面积SdxSOABx11，所以所求事件的概率P，故选C.答案：C7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是()A2 B.C. D.解析：以M为坐标原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(2,1)，设抛物线方程为y22px，点D在抛物线上，14p，解得p，y，S2dxx，故选D.答案：D二、填空题8由曲线y与yx3所围成的图形的面积可
11、用定积分表示为_解析：在同一个平面直角坐标系内作出曲线y与yx3的图象可知曲线y与yx3相交于O(0,0)和A(1,1)两点，且在区间0,1上，曲线y的位于曲线yx3的上方，所以所围成图形的面积可用(x3)dx表示答案：(x3)dx9由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为_解析：函数ycos x为偶函数，cos xdx2cos xdx2sin x2sin2sin 0.答案：10由曲线y，直线yx2及x轴所围成的图形的面积为_解析：如图，A(1,1)，B(2,0)，C(1,0)，则由曲线y、直线yx2及x轴所围成的图形的面积SdxSABCx11.答案：11已知抛物线yx22
12、x及直线x0，xa，y0所围成的平面图形的面积为，则a_.解析：作出抛物线yx22x的图象，如图所示，当a0时，若02，则面积大于，不符合题意综上所述，a1或a2.答案：1或212如图，由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_解析：由图象可知，由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成的平面图形的面积S(x24)5xdx5x(x24)dx.答案：三、解答题13求由曲线xy1及直线yx，y3所围成平面图形的面积解析：在直角坐标系作出曲线y及直线yx，y3的图象如图，利用定积分的几何意义，得由曲线xy1，yx，y3所围成的平面图形的面积：Sdx22(3xln x) 23ln
13、 3124ln 3.14过原点的直线l与抛物线yx24x所围成图形的面积为36，求l的方程解析：由题意可知，直线l的斜率一定存在，可设直线l的方程为ykx，由得或(1)当k40，即k4时，面积S(kxx24x)dxk(k4)2(k4)32(k4)2(k4)336.解得k2.直线l的方程为y2x；(2)当k40，即k4时，Sk4(kxx24x)dx(k4)336.解得k10.直线l的方程为y10x，综上所述，直线l的方程为y2x或y10x.能力提升15.如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，求点P的坐标解析：设直线OP的方程为ykx，点P的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即kx2x3，解得k.直线OP的方程为yx，点P的坐标为.16函数f(x)ax3bx23x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解析：当a0时，由f(x)在R上单调，知b0，当a0时，由f(x)在R上单调，知f(x)0恒成立或f(x)0恒成立，f(x)3ax22bx3，ab2且a1.因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xoy的轨迹所围成的图形是由曲线yx2与直线y1所围成的封闭图形联立得或其面积Sdx(31)(31)4.