1、第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例【知识提炼】1.指数函数模型(1)表达形式:f(x)=_.(2)条件:a,b,c为常数,a0,b0,b1.2.对数函数模型(1)表达形式:f(x)=_.(2)条件:m,n,a为常数,m0,a0,a1.abx+c mlogax+n【即时小测】1.思考下列问题(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质?提示:主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢.(2)数据拟合时,得到的函数为什么需要检验?提示:因为根据已给的数据,作出散点图,根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合,但用得到的函数进行估计时,可能误差较大或不切合客观实际,此时就要
2、再改选其他函数模型.2.某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y=1024e-5x,则()A.该函数是增函数 B.该函数是减函数 C.x=D.当x=0时,y=1【解析】选B.显然该函数是减函数,B正确,C,D变形或求值错误.1ylg51 0243.某电子产品的价格为a元,降价10%后,又降价10%,销售量猛增,该公司决定再提价20%,提价后这种电子产品的价格为()A.0.972元 B.0.972a元 C.0.96元 D.0.96a元【解析】选B.a(1-10%)2(1+20%)=0.972a.4.已知函数f(x)定义在(0,+)上,测得f(x)的一组函数值如表:试在函数y=,y=x,y=
3、x2,y=2x-1,y=lnx+1中选择一个函数来描述,则这个函数应该是 .x 1 2 3 4 5 6 f(x)1.00 1.54 1.93 2.21 2.43 2.63 x【解析】通过表中数值,画出散点图,可判断此图象增长的比较缓慢,更符合y=lnx+1来描述.答案:y=lnx+1【知识探究】知识点 指数型、对数型函数模型的应用举例 观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:应按照怎样的步骤解应用题?问题2:根据收集到的数据的特点如何建立拟合函数模型?【总结提升】1.解函数模型确定的应用题的基本步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型.(2)建模:将自然语言转化为数
4、学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.(3)求模:求解数学模型,得出数学模型.(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.2.拟合函数模型的应用题的解题步骤(1)作图:即根据已知数据,画出散点图.(2)选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似的图象特征,找几个比较接近的函数模型尝试.(3)求出函数模型:求出(2)中找到的几个函数模型的解析式.(4)检验:将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证、得出最适合的函数模型.【题型探究】类型一 指数函数模型【典例】1.(2015怀柔高一检测)某企业生产总值的月平均增长率为p,则年(1年为12个月)平均增
5、长率为 .2.(2015汉沽高一检测)医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验,经检测,病毒细胞的个数与天数的记录如下表:天数 1 2 3 4 5 6 病毒细胞的个数 1 2 4 8 16 32 已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候将死亡.但注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(精确到天,lg2=0.3010)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天)【解题探究】1.典例1中12月底的生产总值是多少?提示:设原来的生产总值为a
6、,则12月底的生产总值为a(1+p)12.2.典例2中属于哪方面的数学问题,应首先建立哪两个量之间的关系?提示:这个问题属于增长率问题,首先建立病毒细胞的个数与天数之间的关系式,然后通过研究函数关系式对问题作出解答.【解析】1.设原来的生产总值为a,则12月底的生产总值为a(1+p)12,故年平均增长率为 =(1+p)12-1.答案:(1+p)12-1 12a 1 paa2.(1)由题意知第一次注射药物前病毒细胞的个数y关于天数n(nN*)的函数关系式为y=2n-1(nN*).为了使小白鼠在试验过程中不死亡,则2n-1108,两边取对数,解得n27,即第一次最迟应在第27天注射该种药物.(2)
7、由题意知第一次注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为2262%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为2262%2x,由题意2262%2x108,两边取对数得26lg2+lg2-2+xlg28,解得x6,即再经过6天必须注射药物,即第二次最迟应在第33天注射药物.【方法技巧】解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义:增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率,切记并不总是只和开始单位时间内的比较.(2)具体分析问题时,应严格计算并写出前34个单位时间的具体值,通过观察、归纳出规律后,再概括为数学问题,最后求解数学
8、问题即可.【变式训练】光线每透过1块玻璃,其强度就要减弱 ,要使光线的强 度减弱到原来的 以下,则至少要透过 块这样的玻璃.11013【解析】设刚开始的光线强度为1，则透过1块这样的玻璃后，光线强 度为1-；透过2块这样的玻璃后，光线强度为 透过3块这样的玻璃后，光线强度为 则透过n块这样的玻璃后，光线强度为 令 ，即0.9n ，n10.4，故至少要透过11块这样的玻 璃，才能使光线的强度减弱到原来的 以下.答案：11 1102111(1)(1)(1)101010；23111(1)(1)(1)101010n 1n111(1)(1)(1).101010n11(1)1031313类型二 对数函数模
9、型【典例】(2015济宁高一检测)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回 产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3 ,单 位是m/s,是表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少?(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的 多少倍.12100【解题探究】典例(2)中“游速提高1m/s”的含义是什么?提示:游速提高1m/s实质是v2-v1=1,213311loglog1.21002100即【解析】(1)由v=可知，当=900时，(2)由v2-v1=1，即 所以耗氧量为原来的9倍.31 log21003319001vloglo
10、g 9 1 m/s.2100221233111loglog19.21002100，得【延伸探究】1.(改变问法)在典例中若条件不变,求解的问题改为:当一条鲑鱼的耗 氧量是8100个单位时,它的游速是多少?【解析】将=8100代入函数关系式,得v=log381=4=2,所以一 条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是2m/s.12122.(改变问法)在典例中若条件不变,计算一条鲑鱼静止时耗氧量的 单位数.【解析】令v=0,得 则=100,所以一条鲑鱼 静止时耗氧量为100个单位.31 log012100100，即，【方法技巧】对数函数应用题的解题思路 有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系
11、式,要求根据实际情况求出函数关系式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入关系式求值,然后根据值回答其实际意义.【补偿训练】1.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放的能量)的常用对数值,显然里氏级别越高,地震的强度也就越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级,美国旧金山1906年的地震是里氏8.3级,试计算一下,日本1923年的地震强度是美国旧金山1906年的地震强度的多少倍?【解析】设日本1923年的地震强度为x,美国旧金山1906年的地震 强度为y,则8.9=lgx,8.3=lgy,所以x=108.9,y=108.3,所以 =100.64.即日本1923年的地震强度
12、约是美国旧金山1906年的地震 强度的4倍.8.98.3x10y102.(2015临汾高一检测)我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与 它的强度有关系.声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI表示,它们满足以下公式:LI=10lg (单位 为分贝,LI0,其中I0=110-12W/m2,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答以下问题:0II(1)树叶沙沙声的强度是110-12W/m2,耳语的强度是110-10W/m2,恬静的无线电广播的强度是110-8W/m2,试分别求出它们的强度水平.(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水
13、平必须保持在50分贝以下,试求声音强度I的范围为多少?【解题指南】(1)代入公式LI=10lg 即可求解.(2)列出LI满足的条件,解不等式.0II【解析】(1)由题意可知:树叶沙沙声的强度是I1=110-12W/m2,则 =1,所以 =10lg1=0,即树叶沙沙声的强度水平为0分贝;耳语的强 度是I2=110-10W/m2,则 =102,所以 =10lg102=20,即耳语的强度 水平为20分贝;恬静的无线电广播的强度是I3=110-8W/m2,则 =104,所以,=10lg104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.(2)由题意知:0LI50,即010lg 50,所以,1 105
14、,即 10-12I10-7.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于10-12W/m2,同时应小于10-7W/m2.10II1IL20II2IL30II3IL0II0II【延伸探究】1.在本题条件下,若某电子音乐播放器发出的音乐强度水平为60分贝,试求该电子播放器的强度.【解析】由10lg =60,即lg =6,所以 =106,即I=1061 10-12=110-6W/m2.0II0II0II2.若安静小区为了进一步提高居民的生活居住环境,规定小区内公共 场所的声音的强度水平必须保持在40分贝以下,试求声音强度I的范 围为多少?【解析】由题意知:0LI40,即010lg 40,所以,1 104
15、,即 10-12I0且a1)模型的是()A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.如果某人ts内骑车行驶了1km,那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D.信件的邮资与其质量间的函数关系 2.(2015邯郸高一检测)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如表所示.年序 最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 3
16、6.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象.(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并画出图象.(3)根据所建立的函数模型,估计若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公顷?【解题探究】1.典例1中y=kax有怎样的变化趋势?提示:此函数为指数型函数,变化趋势符合指数函数的变化规律.2.典例2中如何应用表中的数据?提示:可首先根据表中数据作出散点图,然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型.【解析】1.选B.A中信号弹的高度先增
17、加再减少,不符合y=kax的变化;B中若已知人口数为m,则x年后有m(1+1%)x,符合y=kax;C,D中函数关系也不符合指数型函数变化规律.2.(1)描点、作图,如图(甲)所示:(2)从图(甲)中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假 设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y=a+bx(a,b为常数 且b0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得 用计算器可得a2.2,b1.8.这样,得到一个函 数模型:y=2.2+1.8x,作出函数图象如图(乙),可以发现,这个函数模 型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映积雪深
18、度与灌 溉面积的关系.21.1a 10.4b45.8a24.0b ，(3)由(2)得到的函数模型为y=2.2+1.8x,则由y=2.2+1.825,求得y=47.2,即当积雪深度为25cm时,可以灌溉土地约为47.2公顷.【延伸探究】典例2(3)中估计若今年最大积雪深度改为30cm,问可以灌溉土地多少公顷?【解析】由(2)得到的函数模型为y=2.2+1.8x,则由y=2.2+1.830,求得y=56.2,即当积雪深度为30cm时,可以灌溉土地约为56.2公顷.【方法技巧】建立函数拟合与预测的基本步骤【变式训练】图中一组函数图象,它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配:情境A:一份30分钟前从冰
19、箱里取出来,然后被放到微波炉里加热,最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻);情境B:一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏,并且被保存得很好);情境C:从你刚开始放水洗澡,到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度;情境D:根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润.其中情境A,B,C,D分别对应的图象是 .【解析】对于A,加热时升温快,然后再变凉,易知为;对于B,过时的物品价值先下降,直到收藏后价值才会升值,因此显然为;对于C,由于洗澡一般是间歇性用水,所以易知水高度函数图象有多重折线,因此显然为;对于D,乘客人数越多,利润越大
20、,显然是.答案:【补偿训练】环境污染已经严重危害人们的健康,某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为60,整治后前四个月的污染度如下表:月数 1 2 3 4 污染度 60 31 13 0 污染度为0后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个 函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:f(x)=20|x-4|(x1),g(x)=(x-4)2(x1),h(x)=30|log2x-2|(x1),其中x表示月数,f(x),g(x),h(x)分别表示污染度.问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由.203【解析】用h(x)模拟比较.理由:因为f(2)=40,g(2)26.7,h(2
21、)=30,f(3)=20,g(3)6.7,h(3)12.5.由此可得h(x)更接近实际值,所以用h(x)模拟比较合理.规范解答 指数、对数函数模型在实际问题中的应用【典例】(12分)(2015鞍山高一检测)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t).(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.求一次服药后治疗有效的时间是多长?【审题指导】(1)要写出y与t之间的函数解析式y=f(t),需结合图象 的特点,抓住关键
22、点(0,0)和(1,4)以及解析式y=求解.(2)要求一次服药后治疗有效的时间,需利用每毫升血液中含药量不 少于0.25微克时,治疗有效,建立不等关系,求出时间t.t1()2【规范解答】(1)根据所给的曲线 设 2分 当t=1时，由y=4,得k=4；由 =4，得=3，4分 tkt,0t1,y1(),t1,2 11()2则 6分(2)由y0.25得，8分 解得 t5，10分 因此一次服药后治疗有效时间为 (小时).12分 t 34t,0t1,y1(),t1.2 t 3t1,0t1,14t0.25,()0.25,2 或11617951616【题后悟道】1.数形结合的意识 在解决函数问题时,数形结合是我们常用的数学思想之一,如本例根据所给的函数图象,可以直观地得出函数为分段函数.2.待定系数法求函数解析式 当函数模型具体时,常用待定系数法求函数解析式,如本例两段函数的模型已知,故可考虑用待定系数法,但需注意分清模型中的字母哪些是参数,哪些是变量.3.分类讨论思想的应用 在分段函数问题中,若不明确变量的范围,则需要分类讨论处理,如本例由y0.25求t时需要分两种情况列不等式组求解.
