1、高考数学总复习系列高中数学必修4第一章 基本初等函数II一、基础知识（理解去记）定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=,其中r是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数si
2、n=,余弦函数cos=,正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=定理1 同角三角函数的基本关系式：倒数关系：tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos
3、, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（记法：奇变偶不变，符号看象限）。定理3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里kZ.定理4 （根据图像去记） 余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递
4、减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2k时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kZ.定理5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函数, 最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,
5、sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).口诀记忆：积化和差：前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦定理8 倍角公式（常考）:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:si
6、n=,cos=,tan=定理10 万能公式: , ,定理11 *【必考】辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为，则sin=,cos=，对任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为ABC外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐
7、标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1)，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +). y=c
8、osx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 若，则sinxx-1，所以cos，所以sin(cosx) 0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin
9、(x+)，所以0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).综上，当x(0,)时，总有cos(sinx)0，求证：【证明】 若+，则x0，由-0得coscos(-)=sin,所以0sin(-)=cos, 所以01，所以若+，则x0，由0-cos(-)=sin0,所以1。又0sin1，所以，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3最小正周期的确定。例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T=2是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=k+时，y=0（因
10、为|2cosx|2）,所以若最小正周期为T0，则T0=m, mN+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。4三角最值问题。例5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。【解法一】 令sinx=,则有y=因为，所以，所以1，所以当，即x=2k-(kZ)时，ymin=0，当，即x=2k+(kZ)时，ymax=2.例6 设0，求sin的最大值。【解】因为00, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2= =当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。例7 若A，B，C为ABC三个内角，试求sinA+
11、sinB+sinC的最大值。【解】 因为sinA+sinB=2sincos, sinC+sin, 又因为，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5换元法的使用。例8 求的值域。【解】 设t=sinx+cosx=因为所以又因为t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因为t-1，所以，所以y-1.所以函数值域为例9 已知
12、a0=1, an=(nN+)，求证：an.【证明】 由题设an0，令an=tanan, an，则an=因为，an，所以an=，所以an=又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以。又因为当0xx，所以注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x时，有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6图象变换【常考】：y=sinx(xR)与y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图
13、象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(0, 0)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意xR成立。又0，解得=，因为f(x)图象关于对称，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在0，上是减函数；取k=1时，=2，此时f(x)=
14、sin(2x+)在0，上是减函数；取k=2时，此时f(x)=sin(x+)在0，上不是单调函数，综上，=或2。7三角公式的应用。例11 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值。【解】 因为-，所以cos(-)=-又因为+，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例12 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=
15、0。解得或。又0，所以。例13 求证：tan20+4cos70.【解】 tan20+4cos70=+4sin20三、趋近高考（必懂）1.（四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）计算cot15tan15的结果是( )(A)(B) (C)3(D)2【答案】D2.（成都2010届高三第三次诊断文科）计算cos45cos15sin45cos75的结果是( )(A)(B)(C)(D)1【答案】C【解析】cos45cos15sin45cos75 cos45cos15sin45sin15 cos(4515) cos60 3. （成都2010届高三第三次诊断文科）先把函数f(x)sinxcosx的图象按向
16、量a(，0)平移得到曲线yg(x)，再把曲线yg(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线yh(x)，则曲线yh(x)的函数表达式为( ) (A)h(x)sin(x)(B)h(x)sinx (C)h(x)4sin (x)(D)h (x)4sinx【答案】A【解析】f(x)2sin(x)，按向量a(，0)平移后，得到曲线yg(x) 2sin(x)再把纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线yh(x)sin(x)4. （成都2010届高三第三次诊断理科）已知sin()coscos()sin，则cos2的值为_.【答案】【解析】因为sin()coscos()sin sin(
17、) sin 于是cos212sin2216.(绵阳2010年4月高三三诊理科试题) （本小题满分12分）已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，b=1，记角A=x，a+c=f(x)（）当x，时，求f(x)的取值范围；（）若，求sin2x的值解：（I）由已知 A、B、C成等差数列，得2B=A+C， 在ABC中， A+B+C=，于是解得， 在ABC中，b=1， ，即 6分由x得x+，于是2，即f(x)的取值范围为，2 8分（），即 9分若，此时由知x，这与矛盾 x为锐角，故 11分 12分7（雅安2010届高三第三次诊断性考试理科）（本题满分12分）三角形的三内
18、角所对边的长分别为，设向量，若。(1)求角B的大小；(2)求的取值范围。8（自贡2010届高三三诊理科试题）（本小题满分12分）如图4，已知ABC中，ABC=120，BAC=，记。（I）求关于的表达式；（II）求的值域。解：（），由正弦定理有： (2分) , (4分) (8分) () = , （12分）9.（南充2010届高三4月月考理科试题）（本小题满分12分） 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积解：（1）由 4cos2C4cosC解得 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab2
19、5 由得ab6 SABC10（资阳20092010学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：（）求的值；（）求的值解：（）在终边l上取一点，则，2分 4分（）8分12分11.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）在中，角所对的边分别是，.()求的值；（）若，求面积的最大值.解：（）由余弦定理：（）由 ， ，从而故（当且仅当时取等号）12(成都石室中学2010届高三三诊模拟理科)（12分）已知中， （I）求角A的大小； （II）若BC=3，求周长的取值范围。解：（I）得代入已知条件得，由此得6分 （I
20、I）由上可知：由正弦定理得：即得：，周长的取值范围为12分 第二章 平面向量一、基础知识（理解去记）定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合
21、律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4
22、 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac，3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数，使，叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(
23、h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为
24、柯西不等式： (x1y1+x2y2+xnyn)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、基础例题【必会】1向量定义和运算法则的运用例1 设O是正n边形A1A2An的中心，求证：【证明】 记，若，则将正n边形绕中心O旋转后与
25、原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以例2 给定ABC，求证：G是ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以所以充分性。若，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则因为，则，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】 如图所示，结结BQ，QD。因为，所以= 又因为同理 ， ， 由，可得。得证。 2证
26、利用定理证明共线例4 ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：【证明】 首先=其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。所以所以，所以，所以与共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3利用数量积证明垂直例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.例6 已知ABC内接于O，AB=AC，D为AB中点，E为ACD重心。求证：OECD。
27、【证明】 设，则，又，所以a(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a(b-c)=0. 所以OECD。4向量的坐标运算例7 已知四边形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则=(x, y-1), ，因为，所以-x-(y-1)=0.又因为，所以x2+y2=2.由，解得所以设，则。由和共线得所以，即F，所以
28、=4+，所以AF=AE。三、趋近高考【必懂】1.（成都市2010届高三第三次诊断理科）已知向量a(3,2),b(2,1),则|a2 b|的值为( )(A)3(B)7 (C) (D)【答案】C【解析】因为a2 b(1,4) 故|a2 b|2. (绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知向量a、b不共线，若向量a+b与b+a的方向相反，则=（ C ）（A）1（B）0 （C）-1 （D）1 3（雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知为非零向量，函数，则使的图象为关于轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是( C ) ABCD4（资阳市20092010学年度高三第三次高考模拟理）已知平面直角坐标
29、系内的点A(1，1)，B(2，4)，C(1，3)，则 （ B ）（A）（B）（C）8（D）105（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）如图：正六边形中，下列命题错误的是（ C ）A B C D6.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知，则向量与向量的夹角是（ C ）A. B. C. D. 7(成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知是非零向量且满足，则的夹角是（ A ）ABCD二、填空题：8（自贡市2010届高三三诊理科试题）有下列命题：是的充分不必要条件；若函数满足，则是周期函数；如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数c，则这组数据的平均数和方差都
30、改变。其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。9.（眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）设是平面内的四个单位向量，其中与的夹角为，对这个平面内的任一个向量，规定经过一次“斜二测变换”得到向量，设向量，则经过一次“斜二测变换”得到向量的模是_.10（省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）已知向量， ，则 5 .11（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科）已知向量，若与垂直，则 2 .12.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知点和向量，若，则点的坐标为. 13.（攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）已知椭圆的离心率为，且其焦点到相应准线的距离为，过焦点的直线与椭圆交于两点. ()求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的右顶点，则直线与准线分别交于两点（两点不重合），求证：.【解析】直线AB的方程为又设联立 消y得 又A、M、P三点共线， 同理， 综上所述：高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
