1、第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: AB为一个映射。定义2 函数，映射f: AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若xA, yB，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为x|x0,xR.定义3 反函数，若函数f: AB（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函
2、数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).补充知识点：定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义4 函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2I并且x1 x2，总有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于
3、原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。定义5 如果实数ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b），集合x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（a,b，集合x|ax
4、a记作开区间（a, +），集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
5、定理3 复合函数y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是减函数，y=在（0，+）上是减函数，所以y=在（-,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。一、基础知识（初中知识 必会）1二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2二次函数的性质：当a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在x0, -）上随自变量增大函
6、数值增大（简称递增）。当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0时，方程有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当=0时，方程有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分别是x|x和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当0时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。当a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a0)，当x0m,
7、 n时，f(x)在m, n上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在m, n上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意： “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p， q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。一定注
8、意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。二、基础例题（必懂）xyx11x1数形结合法。例1（09.江西） 求方程|x-1|=的正根的个数.【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例
9、2 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=的最大值。【解】 f(x)=，记点P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。所以f(x)max=2.函数性质的应用。例3 （10、全国） 设x, yR，且满足，求x+y.【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-，+）上递增。事实上，若a0，所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 （10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(
10、1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。【解】 因为f(x)是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a)f(a2-1)。又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得0a1。例5 （10、全国） 设f(x)是定义在（-，+）上以2为周期的函数，对kZ, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1，已知当xI0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。【解】 设xIk，则2k-10，则由得n0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m0。同理有m+n=
11、0,x=,但与m0矛盾。综上，方程有唯一实数解x=3.配方法。例7 （经典例题） 求函数y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是-，+）。4换元法。例8 （经典例题） 求函数y=(+2)(+1),x0,1的值域。【解】令+=u，因为x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以该函数值域为2+，8。5判别式法。例9 求函数y=的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当y1时，式是关于x的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得
12、y1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为，7。6关于反函数。例10 （10年宁夏）若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。【证明】设x1x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以x1x2与假设矛盾，所以y1y2。即y=f-1(x)在(-,+ )递增。例11 （经典例题）设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定义域为（-，-）-，+）；其次，设x1,
13、 x2是定义域内变量，且x1x20,所以f(x)在（-，-）上递增，同理f(x)在-，+）上递增。在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，设xy，则f(x)=yy也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因为x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.7待定系数法。例1 （经典例题） 设方程x2-x+1=0的两根是，求满足f()=,f()=,f(1)=1的二次函数f(x).【解】 设f(x
14、)=ax2+bx+c(a0),则由已知f()=,f()=相减并整理得（-）（+）a+b+1=0，因为方程x2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因为f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.8方程的思想例2 （10.全国） 已知f(x)=ax2-c满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求f(3)的取值范围。
15、【解】 因为-4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以(-1)+f(3)5+4,所以-1f(3)20.9利用二次函数的性质。例3 （经典例题） 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x)=x也无实根。【证明】若a0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的xR,f(x)-x0即f(x)x，从而f(f(x)f(x)。所以f(f(x)x，所以方程f(f(x)=x无实根。注：请读者思考例3的逆命题
16、是否正确。10利用二次函数表达式解题。例4 （经典例题）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0x1x2,（）当x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）当x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.综上，xf(x)1，求证：方程的正根
17、比1小，负根比-1大。【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，负根比-1大。12定义在区间上的二次函数的最值。例6 （经典例题）当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1-,令u,则0u1。y=5u2-u+1=5,且当即x=3时，ymin=.例7 设变量x满足x2+bx-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。【解】 由x2+bx-x(b-(b+1)，即b-
18、2时，x2+bx在0，-(b+1)上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.综上，b=-.13.一元二次不等式问题的解法。例8 （经典例题） 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0，则x1x2.的解集为ax1-2a.因为1-2a1-a，所以a0,所以不等式组无解。若a0，）当0a时，x1x2,的解集为ax1-a.因为0ax1-a时，a1-a，由得x1-2a，所以不等式组的解集为1-ax1且a-(1-a)3，所以1a2，并且当1a2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是
19、10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，则由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。15常用结论。定理1 若a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.绝对值不等式【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若m0，则-mxm等价于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理1得证。定理2 若a,bR, 则a2+b22ab；若x,yR+,则x+y注 定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。