1、2.2.2 反证法 路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.1.反证法的定义.2.反证法的一般步骤.（重点）3.运用反证法的注意事项.（难点）探究点1 反证法的定义引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60.已知：A，B，C是ABC的内角.
2、求证：A，B，C中至少有一个不小于60.证明：假设的三个内角A，B，C都小于60，A BC则有 A 60，B 60，C 60所以 A+B+C180这与 相矛盾.三角形内角和等于180所以假设不成立，所求证的结论成立.先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.这种证明方法就是反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法.一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的
3、证明方法叫做反证法.反证法 否定结论推出矛盾肯定结论 即分三个步骤：反设归谬存真 反设假设命题的结论不成立；归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；反证法的证明过程 存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立.归谬矛盾：（1）与已知条件矛盾.（2）与假设矛盾或自相矛盾.（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反.你能说出下列结论的反面吗?1.ab2.d是正数3.a04.aba不垂直于bd不是正数,即d0a0a不平行b万事开头难，让我们走好第一步！探究点2 反证法的应用常用的互为否定的表述方式：至少有三个最多有一个至多有两个至少有两个原词语 否定词 原词语
4、 否定词 等于 任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x,成立 对任何x，不成立 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x,成立不等于某个证明：因为a b 所以经过直线a,b确定一个平面.因为 ,而 ，所以 与 是两个不同的平面.aa因为 ，所以 .bb且,b 例1 已知直线a，b和平面,如果,且,求证:.ba,ba/aabP下面用反证法证明直线a与平面 没有公共点，假设 直线a与平面 有公共点P，则P ，即点
5、P是 直线a与b的公共点，这与ab矛盾，所以a .b .22是 无 理 数求 证例 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我 们采用反证法.假设 不是无理数，那么它就是有理数.我们 知道，任一有理数都可以写成形如 （m,n互质，mZ,nN*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛 盾.2nm证明：假设 不是无理数，那么它就是有理数.2于是，存在互质的正整数m,n使得 ，从而有 nm2,2nm 22因此 m=2n,为数设数从所 以 m偶.于 是 可m=2k(k是 正 整)，而 有,2422nk22即 n=2k,为数 这质所 以 n也偶.与 m,n互矛 盾！设 错 误从无数由 上 述 矛 盾 可 知
6、假，而 2是理.反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立 从假设出发，经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 分清条件和结论【总结提升】宜用反证法证明的题型（1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6）一些不等量命题的证明.（5）解决整除性问题.1.“ab”的反面应是（）A.ab或ab B.a b C.a=b D.a=b或ab 2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应假设 _ .D 三角形中有两个
7、或三个角是直角3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（）A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数 C.a，b，c中至少有两个偶数 D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 D 4.如图，在ABC中,若C是直角，那么B一定是锐角.证明：假设结论不成立,则B是直角或钝角.当B是直角时，则B+C=180，这与三角形的三个内角和等于180矛盾；当B是钝角时，则B+C180，这与三角形的三个内角和等于180矛盾；综上所述,假设不成立.所以B一定是锐角.分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.5.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A,B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？1.反证法的一般步骤:假设命题不成立引出矛盾假设不成立求证的命题正确假设 归谬 结论 从假设出发 得出结论 与假设、已知、定义、定理、公理或者事实矛盾等2.用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏.（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性.（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.