1、第2课时 函数奇偶性的应用 生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点）3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）探究点1 根据函数奇偶性画函数图象 偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.例1.画出下列函数的图象（1）（2）22yx
2、x1yxx分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x0时的图象.（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.解：（1）当 时，222(1)1yxxx0 x 其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).此时函数图象在y轴右半部分如图所示：根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，且在（0，+）上函数值都是正值，函数在（0，+）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）根据函
3、数在（0，+）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。变式训练:设奇函数f(x)的定义域为-5,5，当x0,5时，函数y=f(x)的图象如图所示，（1）作出函数在-5,0上的图象.（2）求使函数y0的x的取值范围.解：利用奇函数图象的性质，画出函数在5,0上的图象，直接从图象中读出信息 由原函数是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于坐标原点对称，由yf(x)在0,5上的图象，知它在5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y0的x的取值范围为(2,0)(2,5)探究点2 根据函数的奇偶性求函数解析式 例2.已知函数f(x)在
4、（0,+）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-，0）上的解析式.（1）f(x)是偶函数；（2）f(x)是奇函数.分析：求函数f(x)在(-，0）上的解析式，就是求 当 时，如何用含x的表达式表示f(x).(,0)x 能够利用的已知条件是函数在（0，+）上的函数解析式，这样就要把（-，0）上的自变量转化到（0，+）上的自变量.根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义 域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函 数就是f(x)=f(-x)，这样当 时，而在（0，+）上的函数解析式是已知的.对奇函数同 样处理.(,0)x(0,)x 解：（1）当函数f(x)是偶函数时
5、，满足f(x)=f(-x)，当 时，(,0)x(0,)x 所以，当 时，(,0)x()()2()121.f xfxxx(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).当 时，(,0)x(0,)x 所以，当 时，(,0)x()()2()121.f xfxxx已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的表达式为_ 解析：当 x0 时，x0，f(x)x22x.又 f(x)是奇函数，f(x)f(x)x22x.f(x)x22x，x0，x22x，x0.答案：f(x)x22x，x0，x22x，x0.变式练习:所以 所以 所以 探究点3 利用函数的奇偶性研究函
6、数的单调性 回顾例1中两个函数的图象 从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+）上是减函数，证明函数在（-，0）上也是减函数.分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-，0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-，0)上的函数值转化到（0，+）上的函数值，再根据函数在（0，+）上是减函数，确定所作的 差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的 结论.所以-f
7、(x1)+f(x2)0.证明：在（-，0）上任取x1-x20 因为函数在（0，+）上是减函数，所以 12()()0fxfx由于函数f(x)是奇函数，所以 1122()(),()()fxf xfxf x 根据减函数的定义，函数f(x)在（-，0）上是减函数.函数的单调性与奇偶性的关系(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.【总结提升】例4：若f(x)是偶函数，其定义域为(-,+)，
8、且 在0,+)上是减函数，则 与 的 大小关系是_.【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.3f()225f(a2a)2【解】因为 又因为f(x)在0,+)上是减函数,所以 又因为f(x)是偶函数，所以 所以【答案】22533a2a(a1),222253f(a2a)f().2233f()f(),22253f(a2a)f().22253f(a2a)f()22函数yf(x)是偶函数，且在(，0上为增函数，试比较f(2)与f(1)的大小 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(1)f(1)又因为f(x)在(，0上为增函数，21，所以f(2)f(1
9、)f(1)，即f(2)f(1).变式训练:1下列函数，既是偶函数，又在区间(0，)上是减函数的是()Af(x)1x Bf(x)x2Cf(x)x3Df(x)x2解析：由偶函数定义，f(x)f(x)知，f(x)x2，f(x)x2是偶函数，又在(0，)上是减函数，f(x)x2符合条件，故选B.B【提示】由函数y=f（x+6）为偶函数，图象关于y轴 对称可得函数y=f（x）的图象关于x=6对称，由函数 f（x）在（6，+）上为减函数，可得在（-，6）上为增函数，从而可判断.2.定义域为R的函数f（x）在（6，+）上为减函数 且函数y=f（x+6）为偶函数，则（）Af（4）f（5）Bf（4）f（7）Cf
10、（5）f（8）Df（5）f（7）C 3已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：f(0)0；若 f(x)在0，)上有最小值1，则 f(x)在(，0)上有最大值 1；若 f(x)在1，)上为增函数，则 f(x)在(，1上为减函数；若 x0 时，f(x)x22x，则 x0 时，f(x)x22x.其中正确结论的序号是：_.4.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+6),那么f(10)+f(4)的值为_.【解析】因为f(x)为奇函数，f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,f(4)
11、=f(-1)=-2,故f(10)+f(4)=-2.答案：-2 5.已知函数f（x）是定义在-4，4上奇函数，且 在-4，4上单调递增若f（a+1）+f（a-3）0，求实数a的取值范围【解析】因为函数f（x）是定义在-4，4上的奇 函数，且在-4，4上单调递增若f（a+1）+f（a-3）0，则f（a+1）f（3-a），a13a4a14,43a4所以解得-1a1.两个性质：函数的奇偶性 综合应用 一种题型：1.奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称 具备奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函数在其关于原点对称的区间上的解析式 但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。凡尔纳