1、我们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线面位置关系？思考 2、若直线的方向向量为平面的法向量为则直线 与的位置关系是_.l(1,0,3),e 2(2,0,),3n l 3、若直线 的方向向量为平面 的法向量为若则实数的值为 _.l(1,1,2),e 1(,1).2nR,l4、设分别是平面的法向量.若则 t=_;若则t=_.(1,2,4),(,1,2)()ttR ,/,1、若直线的方向向量为，的方向向量为则_ .(1,2,2)a(2,3,2),b 1l1l2l2ll 121210l1 l21e2e12/ll 1212/eeeel1l21e2e12ll12120eee el11n1e11
2、/l 11110enen11l1n1111/enenl1e11n22n12/1212/nnnn11n22n1212110nnnn设空间两条直线的方向向量为两个平面的法向量分别为12,e e12,l l12,12,n n平行垂直12ll与11l与12与1e12ee11en1e1n12nn2e1n2nOBDC A 例1、如图，是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，且求证：OBOABACDCDOACDOB在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）OBDC A已知：如图，是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，且求证：OBOABACDCDOBCDOA变式练习
3、：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直的判定定理）lmn已知：如图，求证：,mn,mnB lm lnlBllmmnngg分析：要证明直线与平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内任意一条直线。B,lm ln0,0l ml mmn与相交mn与不共线又,m n g 共面存在有序实数组,x y 使得，gxmynl glxmynxl myl mo 例3、
4、如图，在直三棱柱-中，是棱的中点，求证：ABC111A B C190,30,1,6,ACBBACBCA A M1CC1ABAM1B1A1CABCM903016例3、如图，在直三棱柱-中，是棱的中点，求证：ABC111A B C190,30,1,6,ACBBACBCA A M1CC1ABAM1B1A1CABCM903016证明：在直三棱柱-中，因为，所以因为，而所以，所以在中，因为所以ABC111A B C1A AAC10A A ACCMABC 平面ABABC 平面CMAB0CM ABRt ABC1,30BCBAC3,2ACAB3cos302332AB ACABAC 所以因为，且是棱中点，所以，
5、所以CM1A A16A A M1C C62CM 11cos1803A A CMA A CM 1B1A1CABCM903016所以：11A B AMA AABACCM11A A ACA A CMAB CM0所以：即，1A BAM1ABAM1B1A1CABCM903016思考：还有其它的证明方法吗？利用相似形与线面垂直分析：连结交于点因为所以，要证就是证即证1AC11A BACCBAMO10A B AM10ACCBAM10AC AMCB CM1、利用相似可以证明，从而1ACMA AC和1ACAM10AC AM2、利用知道，即1CBACC1平面ACBAM0CB AM1B1A1CABCM903016O
6、你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？1C1B1AABCM9030161C1B1AABCM903016xyz证明：分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系1,CA CB CCxyzCxyz图中相应点的坐标为：13,1,6A3,0,0A所以：163,0,6,3,0,2A BAM 所以：0AB AM即，1ABAM1C1B1AABCM903016xyz323,1,60,1,03,0,060,0,2,0,1,0B6,0,0,2M 三种方法的比较：证法一是几何向量法，要熟练掌握向量的加减运算及所满足的运算律。证法二是向量的坐标运算法，关键是要恰当地建立空间直角坐标
7、系，探求出各点的坐标。证法三是几何向量法和立体几何法的综合运用。最终都是应用向量的数量积为0来证明线线垂直。A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例5.在正方体 中，E、F分别是BB1,，平面ADE证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：1,DADCDD以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE，11(0,1)2D F 又因为00n DAn DE则由，得所以1D FADE 平面ADEnxyz设平面的一个法向量为=(，)000102xxyz12xyz 则=0，不妨取，得01-2n所以=(，)/1D F n所以课堂小结：本节课主要研究了用向量的方法判定空间线线、线面垂直关系。如果要判定两条直线垂直，可以通过证明它们的方向向量，的数量积为0实现ab、ab