1、第2课时 习题课对数函数及其性质的应用 【题型探究】类型一 比较对数值的大小【典例】1.(2015廊坊高一检测)下列大小关系正确的是()A.0.4330.4log40.3 B.0.43log40.330.4 C.log40.30.4330.4 D.log40.330.40且a1).【解题探究】1.典例1中log40.3是正数还是负数?30.4与0.43可以通过哪个数作为中间量比较大小?提示:log40.31,00.431和0a1两种情况讨论比较.【解析】1.选C.因为00.431,而log40.30,故选C.2.(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.992,则
2、f(1.99)f(2),所以log31.99log0.23log0.24,所以 即log30.2log21=0,log0.32log0.32.0.20.211log 3log4，(4)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则有logaloga3.14;当0a1时,函数y=logax在定义域上是减函数,则有loga1时,logaloga3.14;当0a1时,logabc B.acb C.cab D.cba【解析】选B.因为1e3,则1 ee210,所以0lge1.则lg =lgelge,即ca.因为0lge1,所以(lge)2lge,即b0,所以cb,故选B.eee121
3、21212210e【误区警示】本题对b,c的大小易出现失误,造成错选A.2.比较下列各组数的大小.(1)ln0.3,ln2.(2)loga3.1,loga5.2(a0,a1).【解析】(1)因为函数y=lnx是增函数,且0.32,所以ln0.31时,函数y=logax在(0,+)上是增函数,又3.15.2,所以loga3.1loga5.2;当0a1时,函数y=logax在(0,+)上是减函数,又3.1loga5.2.类型二 与对数函数有关的值域与最值问题【典例】(2015太原高一检测)已知函数f(x)=2log x的定义域为2,4,求函数f(x)的值域.【解题探究】本例中函数f(x)=2log
4、 x在其定义域上是增函数还是减函数?提示:由于底数 1,函数在其定义域内是减函数,故由函数的定义域可确定其值域.121212【解析】因为底数 1,所以函数f(x)=2log x在其定义域内是减函数,故当x=2时,函数取最大值为f(2)=2log 2=-2,当x=4时,函数取最小值为f(4)=2log 4=-4,故函数的值域为-4,-2.12121212【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)若将本题中的“定义域为2,4”改为“值域为2,4”,又如何求函数f(x)的定义域?【解析】因为底数 1)在区间a,2a上最大值是最小值的2倍,则a的值为 .【解析】由于a1,所以f(x)=logax在区间a,
5、2a上是单调递增函数,所以f(x)max=f(2a)=loga(2a),f(x)min=f(a)=logaa=1,所以loga(2a)=21,所以2a=a2,又a1,所以a=2.【延伸探究】1.若将本题中的“最大值是最小值的2倍”改为“最大值与最小值的差是2”,其他条件不变,又如何求解a的值?【解析】由于a1,所以f(x)=logax在区间a,2a上是单调递增函数,所以f(x)max=f(2a)=loga(2a),f(x)min=f(a)=logaa=1,所以loga(2a)-1=2,即loga(2a)=3,所以a3=2a,又a1,所以a2=2,a=.22.若将本题中的“a1”改为“0a1”,
6、其他条件不变,又如何求解a的值?【解析】由于0a1,所以f(x)=logax在区间a,2a上是单调递减函数,所以f(x)max=f(a)=logaa=1,f(x)min=f(2a)=loga(2a),所以1=2loga(2a),所以 =2a,又0a1,所以a=12a1.4类型三 对数函数性质的综合应用 角度1:解对数不等式【典例】(2015石家庄高一检测)已知log0.33xlog0.3(x+1),则x的取值范围为 .【解题探究】典例1中对数的底数是多少?对应的对数函数的增减性是什么?提示:底数是0.3,对应的对数函数是单调减函数.【解析】因为对数函数y=log0.3x在(0,+)上为单调减函
7、数，所以由log0.33x0且a1)”,又如何求x的取值范围?【解析】当a1时，函数y=logax在(0,+)上为单调增函数，所以由loga3xloga(x+1)可得：所以x的取值范围为 当0a1时，函数y=logax在(0,+)上为单调减函数，3x0,1x 10,0 x23xx 1,解得，1(0,).2所以由loga3x1时，x的取值范围为(0,)；当0ax-x，所以 +x0对任意实数都成立，故函数的定义域为R.2x12x12x12x1【解析】因为|x|-x，所以 +x0对任意实数都成立，故函数的定义域为R.又f(-x)+f(x)=log3(-x)+log3(+x)=log3()2-x2=l
8、og31=0，所以函数f(x)=log3(+x)为奇函数.2x12x12x12x12x12x1角度3:与对数函数有关的复合函数的单调性【典例】(2015大连高一检测)函数f(x)=log (3x2-ax+7)在-1,+)上是减函数,求实数a的取值范围.【解题探究】本例函数f(x)=log (3x2-ax+7)可以看成是哪两个函数复合而成?提示:令t=3x2-ax+7,y=log t,因此f(x)=log (3x2-ax+7)可以看成是由以上两个函数复合而成.13131313【解析】令t=3x2-ax+7,则y=log t单调递减,故t=3x2-ax+7在-1,+)上单调递增且t0.因为t=3x
9、2-ax+7的对称轴为x=,故a的取值范围为(-10,-6.13a6a1,10a6610a0,所以解得，【方法技巧】1.两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式.当0ag(x)0;当a1时,可转化为0f(x)g(x).(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)b=logaab.当0aab;当a1时,可转化为0f(x)0;g(f(x)=(log2x)2+log2x中需要x0.(2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性,首先要注意函数中变量的范围,再利用奇偶性定义判断.3.形如y=logaf(x)的函数的单调性 首先要确保f
10、(x)0,当a1时,y=logaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与y=f(x)的单调性一致.当0a0的前提下与y=f(x)的单调性相反.【变式训练】若函数f(x)=log2 的图象关于原点对称,则实数a的值为 .【解题指南】由于其图象关于原点对称,可知此函数为奇函数,由奇函数的定义可知f(-x)=-f(x),据此等式可求得a的值.1 xax【解析】由图象关于原点对称可知函数为奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，即 所以 即a2=1，又 0，所以a=1.答案：1 221 x1 xloglog0,axax22222221 x1 xlog01axax，即，1 xax规范解答 与对数函数相关的值
11、域问题【典例】(12分)(2015绥化高一检测)设函数f(x)=log3(9x)log3(3x),x9,若t=log3x.(1)求t的取值范围.(2)求f(x)的值域.19【审题指导】(1)要求t的取值范围,只需根据x的范围,利用t=log3x 在其定义域内是单调递增函数确定其范围.(2)要求f(x)的值域,可根据 x9,利用t=log3x,f(x)=log3(9x)log3(3x)的单调性求解.19【规范解答】(1)因为t=log3x,x9,所以log3 tlog39,2分 即-2t2 4分 1919(2)函数f(x)=log3(9x)log3(3x),即f(x)=(log3x)2+3log
12、3x+2,又t=log3x,则y=t2+3t+2 7分 231(2t2)(t)24 当t=-,即log3x=-,x=3 时,f(x)min=-;9分 当t=2,即log3x=2,x=9时,f(x)max=1211分 综上可得,函数f(x)的值域为 12分 323232141 1,.4 2【题后悟道】1.重视换元的思想 在解与对数函数有关的最值时,经常利用换元思想来解决,如本例用 t换log3x,这样就转换成我们熟悉的二次函数求最值问题.2.熟练运用二次函数求最值的方法 已知定义域求二次函数的最值时,首先要考虑的是对称轴与所给定义 域的关系,再根据二次函数的单调性求最值,如本例中的对称轴t=-在所给的定义域-2,2内,进而求出最大值和最小值.32