1、2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质 【知识提炼】1.对数函数的概念 函数y=_(a0,且a1)叫做对数函数,其中_是自变量,函数的 定义域是_.logax x(0,+)2.对数函数的图象及性质 a的范围 0a1 图象 性质 定义域 _ 值域 R 定点 _,即x=_时,y=_ 单调性 在(0,+)上是_ 在(0,+)上是_(0,+)(1,0)1 0 减函数 增函数 3.反函数 指数函数_和对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数.y=ax【即时小测】1.判断.(1)y=log2x2与y=logx3都不是对数函数.()(2)对数函数的图象一定在y轴右侧.()(3)当
2、0a1,则y=logax的函数值都大于零.()(4)函数y=log2x与y=x2互为反函数.()【解析】(1)正确.根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a0且a1)的形式的函数才是对数函数.(2)正确.通过a1和0a1时的对数函数的图象可知,对数函数的图象一定在y轴右侧.(3)错误.当0a1时,y=logax的函数值小于零.(4)错误.函数y=log2x的反函数为y=2x.答案:(1)(2)(3)(4)2.下列函数是对数函数的是()A.y=logx2 B.y=log3x C.y=2log3x D.y=log3x+1【解析】选B.由对数函数的定义知y=log3x是对数函数,而A项中未知数
3、在底数上,C项中系数不为1,D项中多了加1这一项,故只有B符合.3.若函数y=(a2-3a+3)logax是对数函数,则a的值为()A.1或2 B.2 C.-1或-2 D.1【解析】选B.因为y=(a2-3a+3)logax是对数函数,所以a2-3a+3=1,a0且a1.解得a=2.4.对数函数f(x)=logax的图象过点(3,1),则f(9)的值为()A.-2 B.C.2 D.-【解析】选C.因为函数f(x)=logax的图象过点(3,1),则loga3=1,解得a=3.故f(9)=log39=log332=2.12125.若对数函数f(x)=log(2a-1)x是(0,+)上的减函数,则
4、a的取值范围是()A.-a1 B.-1a C.1a2 D.a1【解析】选D.因为对数函数f(x)=log(2a-1)x是(0,+)上的减函数,所以02a-11,解得 a0,且a1?【总结提升】1.对对数函数概念的两点说明(1)对数函数的概念与指数函数类似,都是形式化定义,如y=2log2x,y=log2 都不是对数函数,可称其为对数型函数.(2)由指数式与对数式的关系知:对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域为(0,+).x32.对数函数的定义中要求a0,且a1的原因 根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x,联想指数函数中底数的范围可知a0且a1.3
5、.对数函数的解析式具有的三个特征(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数.(3)对数的真数仅有自变量x.知识点2 对数函数的图象及性质 观察图形,回答下列问题:问题1:对数函数的图象恒过哪一个定点?问题2:底数的大小对对数函数的图象有怎样的影响?【总结提升】1.对数函数图象和性质的关系 图象特征 函数性质 位于y轴右侧 定义域为(0,+),值域为R 恒过定点(1,0)对于任意的a0且a1,总有loga1=0 图象特征 函数性质 图象可以分为两类:一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0,在区间(1,+)内纵坐标都大于0;另一类图象恰好相反 当a1时,(1)若0 x1,则logax1,
6、则logax0 当0a1时,(1)若0 x0(2)若x1,则logax1时图象逐渐上升;0a1时,y=logax是增函数;当0a0且a1)的图象无限靠近y轴,但 永远不会与y轴相交;在同一坐标系内,y=logax(a0且a1)的图象 与y=log x(a0且a1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.1a【拓展延伸】对数函数单调性的记忆口诀 对数增减有思路,函数图象看底数;底数要求大于0,但等于1却不行;底数若是大于1,图象从左往右增;底数0到1之间,图象从左往右减;无论函数增和减,图象都过(1,0)点.【题型探究】类型一 对数函数概念的应用【典例】1.下列给出的函数:y=log5x+1;y=l
7、ogax2(a0,且a1);y=y=log3x;y=logx (x0,且x1).y=log x.其中是对数函数的为()A.B.C.D.(3 1)logx；13322.(2015晋城高一检测)对数函数的图象过点(16,2),则对数函数的解析式为 .3.若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数,则a=.【解题探究】1.典例1中应从哪几个方面看一个函数是否是对数函数?提示:应从三个方面,一看系数;二看底数;三看真数.2.典例2中对数函数应设为怎样的形式?提示:应设为y=logax(a0,且a1)的形式.3.典例3中的a2-5a+4应满足怎样的条件?提示:a2-5a+4=0.【解析
8、】1.选D.中对数式后面加1,所以不是对数函数;中真数不是自变量x,所以不是对数函数;和符合对数函数概念的三个特征,是对数函数;中log3x前的系数不是1,所以不是对数函数;中底数是自变量x,而非常数a,所以不是对数函数.故正确.2.设对数函数的解析式为y=logax(a0,且a1),由已知可得loga16=2,即a2=16,解得a=4,故函数解析式为y=log4x.答案:y=log4x 3.由题意可得,解得a=4.答案:4 2a5a40,2a 10,2a 1 1,【方法技巧】判断一个函数是对数函数的方法【变式训练】已知下列函数.(1)y=log (-x)(x 1).(3)y=lnx(x0).
9、(4)y=(x0,a为常数).其中是对数函数的是 (只填序号).122aalogx【解析】对于(1),真数是-x,故(1)不是对数函数;对于(2),2log4(x-1)的系数为2,而不是1,且真数是x-1,不是x,故(2)不是对 数函数;对于(3),lnx系数为1,真数是x,故(3)是对数函数;对于(4),底数a2+a=当a=-时,底数小于0,故(4)不是对数函数.答案:(3)211(a)24，12类型二 求对数型函数的定义域、函数值问题【典例】1.已知函数f(x)=log5(x+1),若f(a)=1,则a=()A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2015邢台高一检测)函数f(x)=log(
10、x-1)的定义域为 .2x 1【解题探究】1.典例1中把a代入函数式中会得到什么结果?提示:会得到f(a)=log5(a+1)=1,解此等式可求得a的值.2.典例2中不仅要考虑2x+10,要使函数有意义,对于底数应有什么限定条件?提示:对于底数x-10且x-11.【解析】1.选B.由f(a)=log5(a+1)=1可得a+1=5,所以a=4.2.要使函数有意义,必须 解得x1且x2.所以函数的定义域为(1,2)(2,+).答案:(1,2)(2,+)2x 10,x 10,x 1 1.【延伸探究】1.(变换条件,改变问法)本例2函数式不变,若f(a)=1,则a=.【解析】若f(a)=1,即f(a)
11、=log(a-1)=1,答案:4 2a 12a 1a 1,2a 10,a4.a 10,a 1 1 则有解得，2.(变换条件)若将本例2的函数“f(x)=log(x-1)”变为“f(x)=log (x+1)”，其定义域又如何求解呢？【解析】要使函数有意义，必须 解得x 且x1.所以函数的定义域为(,1)(1,+).2x 12x 1x 10,2x 10,2x 11,1212【方法技巧】求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时,被开方数非负.(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.【补偿训练】函数f(x)=log(x+2)(4-x)的定义域为 .【解析】
12、要使函数有意义,必须 解得-2x4且x-1.故函数的定义域为(-2,-1)(-1,4).答案:(-2,-1)(-1,4)4x0,x20,x21,【延伸探究】1.本题函数式不变,若f(a)=2,则a=.【解析】若f(a)=2,即f(a)=log(a+2)(4-a)=2,答案:0 2a24 a,4 a0,a0.a20,a21,所以解得2.若将本题的函数“f(x)=log(x+2)(4-x)”改为“f(x)=log(4-x)(x+2)”,其定义域又如何求解?【解析】要使函数有意义,解得-2x0,且a1)的图象恒过点 .3.(2015无锡高一检测)如图所示的曲线是对数函数y=logax,y=logbx
13、,y=logcx,y=logdx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为 .【解题探究】1.典例1中由lga+lgb=0会得到a与b怎样的关系式,需要对a的范围进行分情况讨论吗?提示:由lga+lgb=0可得lg(ab)=0,则ab=1,即a=,需要对a的范围进行讨论.2.典例2中函数恒过定点,此时应使真数x+1等于何值?提示:依据loga1=0,此时应使x+1=1.1b3.典例3中由对数函数的图象,怎样判断相应底数的大小?提示:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个函数的底数,在第一象限内,自左向右,底数逐渐变大.【解析】1.选B.由lga+lgb=0,得lg(ab)=0,所以ab
14、=1,故a=,所以当0b1;当b1时,0a1.又因为函数y=-logbx与函数y=logbx的图象关于x轴对称.利用这些信息可知选项B符合0b1的情况.1b2.因为函数y=logax(a0,且a1)的图象恒过点(1,0),则令x+1=1得x=0,此时y=loga(x+1)-2=-2,所以函数y=loga(x+1)-2(a0,且a1)的图象恒过点(0,-2).答案:(0,-2)3.由图象可知函数y=logax,y=logbx的底数a1,b1,函数y=logcx,y=logdx的底数0c1,0da1dc.答案:ba1dc【方法技巧】1.对数函数图象过定点问题 求函数y=m+logaf(x)(a0,
15、且a1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.【变式训练】对a(a0,a1)取不同的值,函数y=loga 的图象恒过定点P,则P的坐标为()A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)【解题指南】函数y=loga 的图象恒过定点,则此时应使=1,解相应的x的值即可.x 13x 1x 13x 1x 13x 1【解析】选A.因为y=logax恒过定点(1,0),由y=loga 可知,令 =1,则y=0,解得x=1,故此函数过定点P(1,0).x 13x 1x 13x 1【补偿训练】已知函数f(x)=ax(a0,a1)的反函数为g(x),且满足g(2)0,则函数g(x+1)的图象是下图中的()【解析】选A.由f(x)=ax的反函数是g(x)=logax,又g(2)0,所以0a0,忽视此条件导致错误.12【自我矫正】要使函数有意义,需log (x-1)+10且x-10,所以log (x-1)-1且x1,解得10这一隐含条件导致错误.