1、第2课时 对数的运算 【知识提炼】1.对数的运算性质 若a0且a1,M0,N0,则有:(1)loga(MN)=_.(2)loga =_.(3)logaMn=_(nR).2.对数的换底公式 logab=_(a0,且a1;c0,且c1;b0).logaM+logaN MNlogaM-logaN nlogaM cclog blog a【即时小测】1.思考下列问题(1)若MN0,运算性质loga(MN)=logaM+logaN还成立吗?提示:不一定成立.例如对于(-3)(-4)0,loga(-3)(-4)loga(-3)+loga(-4),因为loga(-3)和loga(-4)没有意义.(2)使用对数
2、的运算性质的关键点是什么?提示:关键是先判断真数是积、商、幂中的哪种形式并确定真数位置的每个量都为正值.然后选择适当的对数的运算性质进行转化.2.计算log84+log82等于()A.log86 B.8 C.6 D.1【解析】选D.log84+log82=log8(42)=log88=1.3.计算log510-log52等于()A.log58 B.lg5 C.1 D.2【解析】选C.log510-log52=log5 =log55=1.1024.lg8+3lg5=.【解析】因为lg8+3lg5=lg(853)=lg103=3.答案:3 5.若lg3=a,lg4=b,用a,b表示log43=.【
3、解析】因为log43=答案:lg 3a.lg 4bab【知识探究】知识点1 对数的运算性质 观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:对数运算性质的适用条件是什么?问题2:对于对数的运算性质(1),能否进一步的推广?【总结提升】1.对数运算性质的两个关注点(1)对数运算性质适用前提:对数的运算性质的适用条件是“同底,且真数为正”,即a0,a1,M0,N0.若去掉此条件,性质不一定成立,如log3 log3(-8)-log3(-3).8()3(2)对数运算性质的可逆性:对数的运算性质具有可逆性,具体如下:logaM+logaN=loga(MN)(a0,a1,M0,N0),如lg2+lg5=lg10
4、=1;nlogaM=logaMn(a0,a1,M0,nR),如2log23=log232;logaM-logaN=loga (a0,a1,M0,N0),如lg3-lg2=lg .MN322.对数运算性质(1)的推广 对于性质(1),可以推广到若干个正因数的积:loga(M1M2M3Mn)=logaM1+logaM2+logaMn(a0,且a1,Mi0,i=1,2,n).【拓展延伸】对数运算性质中规定a0且a1,M0,N0的原因(1)由对数的定义知:对数的底数大于零且不等于1,真数大于零.在对数的运算中,为了保证对数有意义作出了这样的规定.这与所学的幂的运算性质中规定底数a0的道理是类似的.(2
5、)对数的运算性质既可正用也可逆用,为了保证左右两端均有意义,所以规定M0,N0.知识点2 对数的换底公式 观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:一般情况下都转换成以多少为底的对数?问题2:换底公式的特点是什么?【总结提升】1.对数换底公式的两个关注点(1)底数:在使用换底公式时,一般换成以10或e为底的对数,便于计算.(2)常见的两种变形:logablogba=1,此公式表示真数与底数互换,所得的对数值与原对 数值互为倒数.此公式表示底数变为原来的n次方,真数变为原 来的m次方,所得的对数值等于原来对数值的 倍.nmNNmlog Mlog Mn，mn2.由换底公式得到的常用结论(1)loga
6、blogbclogca=1.(2)=logab.(3)=logab.(4)=-logab.nnalog bnmalog b1alog bmn【拓展延伸】对数换底公式的证明【题型探究】类型一 对数运算性质的应用【典例】1.若a0且a1,xy0,nN*,则下列各式 logaxlogay=loga(x+y);loga(xy)=logaxlogay;logax=-loga ;其中式子成立的序号为()A.B.C.D.1xnaalog xlogxn；aaxyxyloglog.xyxy 2.(2015大同高一检测)若a=lg 2，b=lg 3，则用a,b表示 =_.3.(2015大连高一检测)计算 lg 1
7、08lg 27lg 8 lg 1 000.lg 1.2【解题探究】1.典例1中,可分别根据对数的哪些性质进行判断?提示:根据对数的运算性质(1),可根据对数的运算性质(3)进行判断.2.典例2中的108与2,3间如何建立联系?提示:108=427=2233.3.典例3分母中的lg1.2如何化简?提示:lg1.2=lg12-lg10=lg3+2lg2-1.12lg10【解析】1.选C.对于,取x=4,y=2,a=2,则log24log22=21=2,而log2(4+2)=log262,所以logaxlogay=loga(x+y)不成立.对于,取x=4,y=2,a=2,则log2(42)=log2
8、8=3,而log24log22=21=23,所以loga(xy)=logaxlogay不成立.对于，由于-loga =-logax-1=loga(x-1)-1=logax，故该式成立.对于，由于loga 故该式成立.对于,由于 故该式成立.故成立.1x1nnaa1xlog xlog xn，1aaaxyxyxyloglog()logxyxyxy，2.因为108=427=2233，所以 答案：a+1lg 108lg 1082232311133lg 23lg 2lg 3lg 2lg 3ab.22222 3 b2311lg 27lg 2lg 1 000lg 27lg 8 lg 1 000223.lg
9、1.2lg 1.2333lg 3 3lg 2lg 10lg 3 2lg 2 13222.lg 12 lg 10lg 3 2lg 2 12【方法技巧】对数式化简与求值的原则和方法(1)基本原则:对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法:“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【变式训练】计算 的值为()A.B.1 C.0 D.-【解析】选B.553lg 2lg 5log 35 log 7log31212125535335lg 2lg
10、 5log 35 log 7 log3lg(25)loglog 37125111lg 10log 511.222 类型二 对数换底公式的应用【典例】已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)【解题探究】本例中应将18b=5如何变形?将log3645中的36与45怎样与已知18和9建立联系?提示:利用指数式与对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,利用换底公式,将log3645化成以18为底的对数,可以将36=218,45=59代入转化.【解析】因为18b=5，所以b=log185.所以log3645=1818181818181818log5 9log 45
11、log 5 log 9log 36log2 18log 2log 18181818abababab.181 log 22 log 92 a1 log9【延伸探究】1.(改变问法)若本例条件不变，如何求log915(用a,b表示)?【解析】因为18b=5，所以log185=b.181818189181812181818log3 5log 15log 3 log 5log 15log 9log 9a1 log 9blog9blog 9b2aaa1 aba2b2.a2a所以2.(变换条件)若将本例条件“log189=a,18b=5”改为“log918=a,9b=5”,则又如何求解呢?【解析】因为9b
12、=5，所以log95=b.又由于log918=a，则log9(29)=a，即log92+log99=a，所以log92+1=a，所以 log94+1=a，可得log94=2(a-1)，99993699999log5 9log 45log 5 log 9b 1log 45log 36log4 9log 4log 9log 4 1所以，12369b 1b 1log 45.log 4 12a 1故【方法技巧】应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时,要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式.【补偿训练】已知log147=a
13、,14b=5,用a,b表示log3528.【解题指南】借助对数的定义求解b,然后利用换底公式把log3528换成以14为底的对数.【解析】因为log147=a,14b=5，所以b=log145.2141435141421414141414loglog 287log 28log 35log(5 7)log 14log 72 a.log 5 log 7ab所以【延伸探究】1.(改变问法)本题在条件不变的情况下,求log75的值.【解析】因为log147=a,14b=5,所以b=log145.所以log75=1414log 5b.log 7a2.(变换条件)若将本题的条件变为“log714=a,7b
14、=5”,又如何用a,b来表示log3528呢?【解析】因为7b=5,所以log75=b.所以log3528=又因为log714=a,所以log7(27)=a,即log72+1=a,故log72=a-1.所以log3528=777777777log 28log(4 7)log 4 log 72log 2 1log 35log(5 7)log 5 log 7b 1，72log 2 12a 1.b 1b 1类型三 对数运算的综合与实际应用【典例】1.方程log3(x-1)=log3(x+)+log3(x-)的解为()A.-1,2 B.2 C.-1 D.1,-2 2.(2015无锡高一检测)设3x=4
15、y=36,则 =.3.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lgE-11.4).据报道2014年1月7日在山东威海市发生了该地有记录以来的大地震4.3级,而2013年11月15日在新疆发生的地震为3.4级,那么威海市的地震释放的能量是新疆地震的多少倍?(已知100.352.24,结果精确到0.1)3321xy23【解题探究】1.典例1中应该对方程的右边进行怎样的变形?提示:可由log3(x+)+log3(x-)=log3(x+)(x-)=log3(x2-3).2.典例2中由3x=4y=36怎样表示出x,y的值?提示:由3x=4y=36可得,x=log336,y=log436.3.典例3中
16、在解答对数应用题时应注意什么?提示:根据已知函数关系式,代入已知量后求未知量,注意函数的定义域;所得已知数据的实际意义.3333【解析】1.选B.由log3(x+)+log3(x-)=log3(x+)(x-)=log3(x2-3)可得,log3(x-1)=log3(x2-3),解得x=2.33332x 1x3,x30,x30 x 10.故，2.由3x=4y=36可得,x=log336,y=log436,=2log363+log364=log369+log364=log36(94)=1.答案:1 3436362121xylog 36log 362111log 3log 4所以3.设4.3级地震所
17、释放的能量为E1,3.4级地震所释放的能量为E2,由4.3=(lgE1-11.4),得 lgE1=4.3+11.4=6.45+11.4=17.85.同理可得lgE2=3.4+11.4=5.1+11.4=16.5,从而lgE1-lgE2=17.85-16.5=1.35,故lgE1-lgE2=lg =1.35,所以 =101.3522.4,即威海市地震释放的能量约是新疆地震的22.4倍.23323212EE12EE【方法技巧】1.应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法:解形如b=logaf(x)(a0,a1)的方程时,常借助对数函数的定义等价转化为f(x)=ab求解.(2)转化法:适合
18、于同底型,即通过对数的运算把形如logaf(x)=logag(x)(a0,a1)的方程,等价转化为f(x)=g(x),且 求解.(3)换元法:适用于f(logax)=0(a0,a1)形式的方程的求解问题,这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解.f x0g x0，2.解决对数应用题的一般步骤【变式训练】已知2x=3,log4 =y求x+2y的值.【解题指南】把指数式用对数式表示,再用换底公式化成同底的对数计算求解.【解析】因为2x=3,所以x=log23.所以x+2y=log23+2log4 =log23+log2 =log23+log28-log23=log223=3.838383【
19、补偿训练】一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩 余的质量约是原来的75%,估计约经过 年,该物质的剩余质量 是原来的 (结果保留1位有效数字)(lg20.3010,lg30.4771)?13【解析】假设经过x年,该物质的剩余质量是原来的 ,根据题意得:0.75x=,所以 故估计约经过4年,该物质的剩余质量是原来的 .答案:4 1313130.751lg 3lg 3xlog4().3lg 3 lg 4lg 3 2lg 2 年易错案例 利用对数的运算性质化简求值【典例】(2015蚌埠高一检测)设lgx+lgy=2lg(x-2y),则log4 的值为_.xy【失误案例】【错解分析】以上运算
20、,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是将对数式lgx+lgy=2lg(x-2y)转化为代数式 xy=(x-2y)2时,忽略了对数有意义的条件,即隐含条件 从而误认为 =4或 =1,得出 log4 =1或0的错误答案.xyx0,y0,x2y0.xyxy【自我矫正】依题意得x0,y0,x-2y0.原式可化为xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,则 =0,解得 =4或 =1.因为x0,y0,x-2y0,所以 2,所以 =4,因此log4 =1.答案:1 2xx()5()4yyxyxyxyxyxy【防范措施】1.注意真数的取值范围 在解决与对数有关的问题时,一定要考虑真数的取值范围,以防忽略了隐含条件,出现疏漏.如本例中的x,y,x-2y都在真数位置上,一定要保证它们都大于零.2.熟练应用对数的运算性质 对于对数的运算性质,要把握好其形式,同时要熟练应用,如本例中lgx+lgy,2lg(x-2y)的运算.