1、第2课时 习题课指数函数及其性质的应用【知识探究】类型一 指数函数单调性的应用 角度1:比较两数的大小【典例】(2015衡水高一检测)比较下列各组值的大小:(3)0.50.6,0.60.5.1.720.50.5551(),().99212(),().34【解题探究】典例中第(2)题的两数同指不同底，应如何进行比较？提示：可结合函数 在同一坐标系内的图象的特点来进行比较.xx21y()y()34，【解析】(1)由于0 1，故函数y=在实数范围内单调递减，又因为-1.7-2，故(2)在同一坐标系内画出函数 的图象，通过观察图象可知，当x0时，y=的图象在y=的图象的上方，当x=-0.5时，可得 5
2、9x5()91.7255()().99xx21y()y()34，x1()4x2()30.50.521()().34(3)由于00.50.61,所以函数y=0.5x与y=0.6x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+)上函数y=0.5x的图象在函数y=0.6x的图象的下方,所以0.50.60.60.6,又根据指数函数y=0.6x的性质可知0.60.60.60.5,故0.50.6ax+7(a0且a1),求x的取值范围.0.51()3【解题探究】(1)中将 怎样变形,化为与3x同底?提示:将 变形为30.5.(2)中需要对a进行分类讨论吗?怎样分类?提示:需要,可分为0a1两种情况.0.51()3
3、0.51()3【解析】(1)因为 =30.5,所以由3x 可得:3x30.5,因为 y=3x为增函数,故x0.5.(2)当0aax+7可得-5x-.当a1时,函数y=ax是增函数,则由a-5xax+7可得-5xx+7,解得 x-.综上,当0a-;当a1时,x0,函数y=的值域为 2x6x 171()2u1()2u1()22x6x 171()2u811()().221(0,.256函数u=x2-6x+17在3,+)上是单调增函数,而y=在R上是单调 减函数,所以设3x1x2,则u1y2,所以函数y=在3,+)上是单调减函数,同理:函数y=在(-,3)上是单调增函数,函数y=的单调减区间是3,+)
4、,单调增区间是(-,3).u1()212uu11()()22，2x6x 171()22x6x 171()22x6x 171()2【方法技巧】1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 2.解指数不等式的类型及应注意的问题(1)形如axab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,要对a分为0a1两种情况分类讨论.(2)形如axb的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.3.函数y=af(x)(a0,a1)的单调性的处理技巧 当a1时,y=af(x)与y=f(x)的单调性相同,当0a1时,y=af(x)与y=f(x)的单调性相反.【拓展延伸
5、】比较两数大小的常用方法(1)作差法:将两数相减,判断差的符号.(2)作商法:当两数同号时,将两数相除,得到的商与1比较.(3)利用函数的单调性:构造出基本函数模型,利用其单调性比较.【变式训练】1.比较下列各组值的大小(1)0.6-0.6,0.6-0.7.(2)6-0.9,70.9.【解析】(1)由于0.6-0.7,故0.6-0.60.6-0.7.(2)由于函数y=6x,y=7x,在实数范围内是增函数,则6-0.970=1,故6-0.970.9.2.(2015太原高一检测)已知0.2x125,求实数x的取值范围.【解题指南】将0.2x与125转化为底数相同的数,0.2x=5-x,125=53
6、.【解析】由于0.2x=5-x,125=53,根据0.2x125可得5-x53,而y=5x为增函数,故-x-3.x1()5x1()53.求函数y=的单调区间，并证明.【解析】单调增区间是(-,1,单调减区间是(1，+),证明如下：设u=x2-2x 则y=，对任意的1x1x2，有u1u2，又因为y=是单调减函数,所以 ,即y1y2,所以y=在(1，)上是单调减函数,对任意的x3x41，有u3u4，又因为y=是单调减函数,所以 即y3y4,所以y=在(-,1上是单调增函数.2x2x1()2u1()2u1()212uu11()()222x2x1()2u1()234uu11()(),222x2x1()
7、2类型二 指数函数的实际应用【典例】1.(2015大理高一检测)2000年我国人均收入765美元,到2020年人民生活达到小康以上的水平,人均收入争取达到2451美元,则年平均增长率为 (精确到0.01).2.某林区2014年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并写出此函数的定义域.【解题探究】1.典例1中如果设年平均增长率为x,则随着年数n的变化两者有什么关系?提示:设年平均增长率为x,从2000年开始,n年后的收入为y,则有y=765(1+x)n.2.典例
8、2中写出y=f(x)的表达式后,自变量x的具体含义是什么?提示:x是指经过的年数,故应为正整数.【解析】1.设年平均增长率为x,年数为n,由题意,得y=765(1+x)n,因为到2020年人均收入为2451美元,即n=2020-2000=20时,y=2451,所以2451=765(1+x)20,所以x0.06.答案:0.06 2.现有木材的蓄积量为200万立方米,经过1年后木材的蓄积量为200+2005%=200(1+5%);经过2年后木材的蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)5%=200(1+5%)2万立方米;经过x年后木材的蓄积量为200(1+5%)x万立方米.故y=f(x)=2
9、00(1+5%)x,xN*.【延伸探究】典例1中若以不低于此增长率的速度递增,则到2040年人均收入至少为多少美元(精确到1美元)?【解析】由典例1可知年平均增长率为0.06,到2040年,即n=2040-2000=40,此时y=765(1+0.06)407869.答:若以不低于此增长率的速度递增,则到2040年人均收入至少为7869美元.【方法技巧】解决指数函数应用题的流程(1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息.(2)建模:据已知条件,列出指数函数的关系式.(3)解模:运用数学知识解决问题.(4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论.【变式训练】某环保小组发现某市生
10、活垃圾年增长率为b,2014年该市生活垃圾量为a吨,由此可以预测2024年生活垃圾量为()A.a(1+10b)吨 B.a(1+9b)吨 C.a(1+b)10吨 D.a(1+b)9吨【解析】选C.2014年该市生活垃圾量为a吨,所以2015年生活垃圾量是a(1+b)吨,2016年生活垃圾量是a(1+b)(1+b)=a(1+b)2吨,由此可以预测2024年生活垃圾量为a(1+b)10吨.【补偿训练】已知镭经过1百年后的质量为原来的95.76%,设质量为20克的镭经过x百年后的质量为y克(其中xN*),求y与x之间的函数关系式,并求出20克的镭经过1000年后的质量(精确到0.001克).【解析】把
11、1百年看成一个基数,然后看每经过1百年镭的质量的变化.因为镭原来的质量为20克;1百年后镭的质量为2095.76%克;2百年后镭的质量为20(95.76%)2克;3百年后镭的质量为20(95.76%)3克;x百年后镭的质量为20(95.76%)x克;所以y与x的函数关系式为y=20(95.76%)x(xN*).所以经过1000年后镭的质量为y=20(95.76%)1012.968(克).答:y与x之间的函数关系式为y=20(95.76%)x(xN*),经过1000年后镭的质量约为12.968克.类型三 指数函数性质的综合应用【典例】1.若f(x)=-a是定义在R上的奇函数,则a=.2.(201
12、5抚顺高一检测)已知函数f(x)=2x+2ax+b,且f(1)=f(2)=(1)求a,b的值.(2)判断函数的奇偶性并证明.(3)已知函数在(-,0上是单调递减的,试求函数在0,+)上的值域.x12152，17.4【解题探究】1.典例1中由于函数是定义在R上的奇函数,可得到f(0)的值为多少?提示:f(0)=0.2.怎样判断一个函数的奇偶性?提示:可以利用函数奇偶性的定义来进行判断.【解析】1.由于函数f(x)=-a是定义在R上的奇函数，所以f(0)=-a=0，所以a=.答案：x12101211212(2)f(x)是偶函数.证明如下:由(1)可知f(x)=2x+2-x,因为f(-x)=2x+2
13、-x=f(x),根据偶函数的定义可得该函数为偶函数.(3)由于函数为偶函数且在(-,0上是单调递减的,故函数在0,+)上单调递增,当x=0时函数取得最小值,即f(x)min=f(0)=2,故函数在0,+)上的值域为2,+).1a b22a b522,51722.(1)f 1f 2a1,b0.172422,4，可得解得【方法技巧】1.判定函数奇偶性要注意的问题(1)坚持“定义域优先”的原则:如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)正确利用变形技巧:耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)f(-x)=0是否成立判定.(3)巧用图象的特征:在解答有图
14、象信息的填空题时,可根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,进行快速判定.2.整体思想的应用 在复杂的函数解析式、方程、不等式中,常出现ax的形式,此时,利用整体思想,可以把复杂的问题化归为简单的一次、二次函数、方程、不等式的问题.但要注意两点:(1)函数中,注意应用指数函数的单调性求出ax的取值范围,即新函数的定义域.(2)方程、不等式中,注意ax恒大于0,要检验所求根是否是增根.【变式训练】1.已知函数f(x)=+m是奇函数,则常数m=.【解析】由题意知函数f(x)=+m的定义域为(-,0)(0,+),又由于该函数为奇函数,所以f(-1)=-f(1),解得m=.答案:x13
15、1x13112122.已知函数f(x)=(1)用定义证明f(x)在R上单调递增.(2)若f(x)是R上的奇函数,求m的值.【解题指南】(1)在R上任取两个实数x1,x2,且x1x2,然后用作差法比较f(x1)和f(x2)的大小,再根据单调性定义判断单调性.(2)根据f(-x)=-f(x),列出方程,解出m.x2m.51【解析】(1)设x1x2且x1,x2R,则f(x1)-f(x2)=因为x1x2,所以 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在R上单调递增.121212xxxxxx2 5522m(m)515151 511212xxxx510 510,550,，(2)因
16、为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)+f(-x)=所以m=1.xx22mm0,5151xxx22 52m()02m 20,5151 即【补偿训练】已知函数f(x)=(a0,a1,a为常数,xR).(1)若f(m)=6，求f(-m)的值.(2)若f(1)=3，求f(2)及 的值.xxaa21f()2【解析】(1)因为f(-x)=f(x),xR,所以f(x)为偶函数，所以f(-m)=f(m)=6.(2)因为f(1)=3,所以a+=6,所以(a+)2=a2+2+=36,所以a2+=34,所以f(2)=17,因为()2=a+2+=8,xxaa2 1a1a21a21a1122aa1a1122aa2 2
17、,所以11221aaf()2.22所以规范解答 指数函数性质的综合应用【典例】(12分)(2015无锡高一检测)已知函数f(x)=为奇函数,nR.(1)求n的值.(2)利用定义判断并证明函数f(x)的单调性,并求出f(x)在-2,2的最小值.xx3n31【审题指导】(1)要求n的值,由于函数f(x)=为奇函数且定义域为R,利用f(0)=0建立等式,求得n的值.(2)对于函数f(x)的单调性,可任取x1,x2R且x1x2,作差f(x1)-f(x2)并判断出符号,从而得出单调性,进而可利用单调性求f(x)在-2,2的最小值.xx3n31【规范解答】(1)由于函数f(x)=为奇函数且定义域为R,所以
18、f(0)=0,即 =0,3分 解得n=-1.5分 xx3n31003n31(2)由(1)知f(x)=，函数f(x)在R上是单调增函数.任取x1,x2R且x1x2，则f(x1)-f(x2)=xx31311212xxxx31313131122112xxxxxx(31)(31)(31)(31)(31)(31)1212xxxx2(33)8(31)(31)，分因为x10，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，10分 所以函数f(x)在R上是单调增函数.故函数f(x)在-2,2的最小值为f(x)min=f(-2)=12分 1212xxxx33330，即，1x32x34.5【题后悟道】1.重视特殊值的应用 特值法在解题中有时起到很重要的作用,如本例中利用奇函数在原点处有定义的特殊性求解,比用奇函数的定义求解简单.2.重视数学语言的规范和准确 对于函数的单调性、奇偶性的表述要注意语言的规范性、准确性.如本例中证明函数f(x)在R上是单调增函数,必须严格按照增函数的定义证明,同时要特别注意与0的比较.