1、第六章 圆周运动专题强化小船渡河与关联速度问题学习目标1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.2.建立两种模型的一般分析思路和解法.一、小船渡河问题1.运动分析小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动.2.两类常见问题(1)渡河时间问题渡河时间t取决于河岸的宽度d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t.若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图1所示，此时t.图1(2)最短位移问题若v水v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为
2、船位移最小时的合运动的方向.这时船头与河岸夹角满足cos ，最短位移x短.(多选)(2019宜宾市高一质检)如图3所示为长江一段平行江道，一轮船的船头始终垂直指向江岸方向，轮船在静水中运动的速度保持不变，水匀速流动(假设整个江道水流速度相同)，下列说法正确的是()图3A.水流速度越大，轮船行驶位移越大B.水流速度增大，轮船行驶位移不变C.水流速度越大，过江时间越短D.水流速度增大，过江时间不变答案AD解析因为船垂直于江岸方向的速度不变，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，设江道宽为d，船垂直于江岸的速度为v，t，所以不论水速多大，船过江时间不变，故C错误，D正确.若水速越大，
3、相同时间内沿水速方向的位移就越大，船在水中运动的总位移也就越大，故B错误，A正确.已知某船在静水中的速度为v15 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d100 m，水流速度为v23 m/s，方向与河岸平行，(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？(3)若水流速度为v26 m/s，船在静水中的速度为v15 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？答案(1)20 s20 m(2)25 s(3)不能解析(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间
4、，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t s20 s.如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l，由题意可得xv2t320 m60 m，代入得l20 m.(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v15 m/s，大于水流速度v23 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为，则有v1cos v2，cos 0.6，则sin 0.8，船的实际速度vv1sin 50.8 m/s4 m/s，所用的时间为t s25 s.(3)当水流速度v26 m/s时，则水流
5、速度大于船在静水中的速度v15 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船v水时.2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直.3.要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机(或划行)产生的分速度，后者是合速度.针对训练1(2018泸州市高一检测)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图4所示.已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是()图4A.船渡河时间为B.船渡河时间为C.船渡河过程被冲到下游的
6、距离为dD.船渡河过程被冲到下游的距离为d答案C解析小船正对河岸运动，渡河时间最短，t，沿河岸运动的位移s2v2td，故A、B、D错误，C正确.二、关联速度问题关联速度分解问题是指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.(3)常见的速度分解模型(如图5)图5(多选)如图6所示，人在岸上用跨过定滑轮的绳子拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时()图6A.人拉绳行
7、走的速度大小为vcos B.人拉绳行走的速度大小为C.船的加速度大小为D.船的加速度大小为答案AC解析船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v人vvcos ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F，与水平方向成角，因此Fcos Ffma，解得a，选项C正确，D错误.针对训练2(2019鹤壁市期末)如图7所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好
8、以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则()图7A.绳与杆的夹角为时，B的速率为vsin B.绳与杆的夹角为时，B的速率为vcos C.物体B也做匀速直线运动D.物体B做匀加速直线运动答案B解析如图所示，将A物体的速度按图示两个方向分解，绳子速率v绳vvcos ；而绳子速率等于物体B的速率，则物体B的速率vBv绳vcos ，故A错误，B正确；因物体A向下运动的过程中减小，则cos 增大，vB增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误.1.(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是()答
9、案AB解析小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.2.(小船渡河模型)(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图8甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是()图8A.船渡河的最短时间为100 sB.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C.船在河中航行的轨迹是一条直线D.船在河水中的最大速度为7 m/s答案AB解析由运动的独立性可知，垂直河岸方向速度越大，渡河时间越短，即船头始终与河岸垂直，航行时所用时
10、间最短，tmin100 s，选项A、B正确；由题图甲可知，水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹不是直线，选项C错误；船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4 m/s，则船在河水中的最大速度为5 m/s，选项D错误.3.(关联速度模型)(多选)如图9所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到绳与水平方向成45角时()图9A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动答案BC解析将小车速度沿绳方向与垂直绳方向进行分解，如图所示人拉绳的速度与小车沿绳方向的分速
11、度大小是相等的，根据三角函数关系vcos 45v0，则vv0，B正确，A错误；随着小车向左运动，绳与水平方向的夹角越来越大，设夹角为，由v知，v越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C正确，D错误.4.(关联速度模型)(2019泉港一中高一下学期期末)如图10所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30.人以恒定的速率v3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么()图10A.5 s时绳与水面的夹角为60B.5 s时小船前进了15 mC.5 s时小船的速率为5 m/sD.5 s时小船到岸边距离为10 m答案C解析5 s内人前进的距离svt35 m15 m，滑
12、轮至船的距离l15 m25 m，设5 s时拉船的绳与水平方向夹角为，则sin ，由此可知，53，cos ，故v船5 m/s，小船到岸边的距离s20tan 37 m15 m，则5 s时小船前进的距离为s1s(2015) m，故A、B、D错误，C正确.一、选择题题型一小船渡河模型1.小船船头指向对岸，以相对于静水的恒定速率向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是()A.水速小时，位移小，时间也短B.水速大时，位移大，时间也长C.水速大时，位移大，但时间不变D.位移、时间大小与水速大小无关答案C解析小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小
13、船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.2.(多选)在河道宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1(且v1v2)，方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船()A.可能的最短渡河时间为B.可能的最短渡河位移为dC.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水流速度无关D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水流速度均无关答案BD解析当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为，故A错误；当合速度与河岸垂直时，渡河位移最小为d，故B正确；将船的实际运动沿垂直
14、水流方向和水流方向分解，由于各个分运动互不影响，因而渡河时间等于沿船头方向的分运动时间，为t(x1为沿船头指向的分位移)，显然与水流速度无关，故C错误，D正确.3.(2019山西平遥中学高一下期中)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为()A. B.0C. D.答案C解析摩托艇登陆的最短时间t，登陆点到O点的距离sv1t，故选C.4.一只小船在静水中的速度为v15 m/s，它要渡过一条宽为d50 m的河，河水流速
15、为v24 m/s，则()A.这只船过河位移不可能为50 mB.这只船过河时间不可能为10 sC.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变答案C解析当船头垂直指向河岸航行时，渡河时间最短，tmin s10 s，B错误；由于船在静水中的速度大于河水流速，船的实际航向可以垂直河岸，即过河最短位移为sd50 m，A错误；根据运动的独立性，渡河最短时间为10 s，与水速无关，C正确；若河水流速大于船在静水中的速度，则船过河最短位移大小大于河宽，D错误.5.(2019厦门市高一下学期期末)某人划小船横渡一条两岸平行的河流，船在静水中的速度大小不变，船头方向始终垂
16、直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图1所示，则()图1A.各处水流速度大小都一样B.离两岸越近水流速度越小C.离两岸越近水流速度越大D.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最长答案B解析从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有指向下游的加速度，后具有指向上游的加速度，故加速度是变化的，水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A、C错误，B正确；根据运动的独立性，船身方向垂直于河岸，这种渡河方式耗时最短，故D错误.6.(多选)(2019山东省实验中学高一下期中)如图2，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的
17、关系为v水x(m/s)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v船4 m/s，下列说法正确的是()图2A.小船渡河的轨迹为直线B.小船在河水中的最大速度是5 m/sC.小船渡河的时间是200 sD.小船在距南岸200 m处的速度小于距北岸200 m处的速度答案BC解析小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，在沿河岸方向上做变速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，选项A错误；当小船行驶到河中央时水流速度最大，v水400 m/s3 m/s，那么小船在河水中的最大速度vmax m/s5 m/s，选项B正确；小船船头垂直河岸由南向北渡河，那么小船渡河的时间是t
18、 s200 s，选项C正确；在距南岸200 m处的河水速度大小与距北岸200 m处的河水速度大小相等，根据矢量的合成法则，则两种情况下小船的合速度大小相等，选项D错误.7.如图3所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则()图3A.t1t2，s1s2 B.t1t2，s1s2C.t1t2，s1s2 D.t1t2，s1s2答案D解析因为AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上
19、的分速度相等，渡河时间t，所以两次渡河时间相等.设AB、AC与河岸夹角为，船头向着AB方向时，沿河岸方向的分速度v1v静cos v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向的分速度v2|vv静cos |v1，水平方向上的位移x1x2，根据平行四边形定则，s1s2，故D正确，A、B、C错误.8.如图4所示，一条小船位于200 m宽的河中央A点处，离A点距离为100 m的下游处有一危险的急流区，当时水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静止水中的速度至少为()图4A. m/s B. m/sC.2 m/s D.4 m/s答案C解析小船刚好避开危险区域时，小船合运动方向与水流方向的夹
20、角设为，则tan ，则30，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，在静水中的最小速度vminv水sin 302 m/s，C正确.题型二关联速度模型9.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图5所示位置时，绳与竖直杆的夹角为，则物体A实际运动的速度大小是()图5A.v0sin B. C.v0cos D.答案D解析由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示.
21、由几何关系可得v，所以D正确.10.如图6所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，小船水平向左运动，绳某时刻与水平方向夹角为，则小船的运动性质及此时刻小船的速度vx为()图6A.小船做变加速运动，vxB.小船做变加速运动，vxv0cos C.小船做匀速直线运动，vxD.小船做匀速直线运动，vxv0cos 答案A11.(2019康杰中学期中)如图7所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块.汽车匀速向右运动，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是()图7A.物块将竖直向上做匀速运动B.物块将处于超重状态C.物块将处于失重状态D.物块将竖直向上先加速后减速答案B解析设汽车向右运动的速度为
22、v，绳子与水平方向的夹角为，物块上升的速度为v，则vcos v，汽车匀速向右运动，减小，v增大，物块加速上升，A、D错误；物块的加速度向上，处于超重状态，B正确，C错误.12.(2019眉山高中下学期期末质检)如图8所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为，与水平面的夹角为，此时物块A的速度v1为()图8A.v1v0sin cos B.v1C.v1v0cos cos D.v1答案D解析人和A沿绳方向的分速度相等可得v0cos v1cos 所以v1.13.如图9所示， 一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB杆和墙的夹
23、角为时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是()图9A.v1v2B.v1v2cos C.v1v2tan D.v1v2sin 答案C解析将A端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度为v1v1cos ，将B端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度v2v2sin .由于v1v2.所以v1v2tan ，故C正确，A、B、D错误.二、非选择题14.如图10所示，河宽d120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，若船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若船头指向河正对
24、岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点.求：图10(1)小船在静水中的速度v1的大小；(2)河水的流速v2的大小；(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.答案(1)0.25 m/s(2)0.15 m/s(3)72 m解析(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1 m/s0.25 m/s.(2)设AB与河岸上游成角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2v1cos ，此时渡河时间为t，所以sin 0.8，故v2v1cos 0.15 m/s.(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCDv2tmin72 m.15.一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为，如图11所示.试求：图11(1)车向左运动的加速度的大小；(2)重物m在t时刻速度的大小.答案(1)(2)解析(1)车在时间t内向左运动的位移：x，由车做匀加速直线运动，得：xat2，解得：a.(2)t时刻车的速度：v车at，由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：v物v车cos ，解得：v物.