1、第2讲不等式的解法与三个“二次”的关系【自主学习】第2讲不等式的解法与三个“二次”的关系(本讲对应学生用书第2730页)自主学习回归教材1. (必修5 P101第3题改编)不等式-x2-3x+40的解集为.(用区间表示)【答案】(-4，1)【解析】由x2+3x-40解得-4x0的解集为(-4，1).2. (必修5 P73习题6改编)已知不等式ax2+bx-10的解集为x|x4，则a=，b=.【答案】-【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根，所以a(x-3)(x-4)=0，所以a=-，b=.3. (必修1 P32习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间
2、0，2上是增函数，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是.【答案】m|0m4【解析】由函数的对称轴为x=2，且在0，2上为增函数，知a0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-20，故x0，当a1时，0，所以x2.当a=1时，=2，原不等式化为(x-2)20，所以xR且x2.当0a2，原不等式化为(x-2)0，则x.当a0时，2，原不等式化为(x-2)0，所以x2.综上所述，当a=0时，原不等式的解集为x|x1时，原不等式的解集为；当a=1时，原不等式的解集为x|xR且x2；当0a1时，原不等式的解集为；当a0.【解答】由ax2+(a-1)x-10，得(ax-1)(x+1)0.当a0时，(a
3、x-1)(x+1)0(x+1)0x；当-1a0(x+1)0x0-(x+1)20(x+1)20x；当a0(x+1)0-1x0时，不等式的解集为；当-1a0时，不等式的解集为；当a=-1时，不等式的解集为；当a0的解集为x|xb.(1) 求实数a，b的值；(2) 解不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|xb，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，由根与系数的关系，知b1，a0，且(2) 由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc0，即x2-(2+c)x+2c0，所以(x-2)(x-c)2时，不等式(x-2)(x-c)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x-2
4、)(x-c)0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式(x-2)(x-c)2时，不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2-(ac+b)x+bc0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式ax2-(ac+b)x+bc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.(2) 解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，从而层次清晰地求解.变式(1) 已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|x，其中0，a0的解集为.(2) 设aR，
5、若关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实数根x1，x2，且0x11x22，则实数a的取值范围为.【答案】(1) (2) a|-2a-1或3a4【解析】(1) 因为，为方程ax2+bx+c=0的两根，所以+=-，=.因为a0可同解变形为x2+x+10.由根与系数的关系将，代入，得x2-(+)x+10.即0，由0，所以不等式cx2+bx+a0的解集为.(2) 设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2.因为x1，x2是方程f(x)=0的两个实数根，且0x11x22，所以-2a-1或3a4.所以实数a的取值范围是a|-2a-1或3am(x2-1)对满足-2m2的所有
6、m都成立，则x的取值范围为.【答案】【解析】我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，对原不等式进行变形：2x-1m(x2-1)m(x2-1)-(2x-1)0.令f(m)=m(x2-1)-(2x-1)，-2m2，f(m)0恒成立x0对满足0x1的所有实数x恒成立，则实数m的取值范围为.【答案】【解析】设f(x)=x2-2mx+2m+1，本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围.当m0时，f(x)在0，1上是增函数，因此f(0)是最小值，解得-m1时，f(x)在0，1上是减函数，因此f(1)是最小值，解得m1.综上得m-.【点评】在将含参二次不等式问题转化为二次函数的问题时
7、，若原问题中限制自变量x在某个指定范围内取值，最好先采用分离变量，然后构造二次函数，解决起来较为简便，否则运用二次函数理论解决问题时较繁琐.例4已知关于x的函数f(x)=x2-(2a+1)x+a2-6，且不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为.(2) 若当x-2，1时，x2-(2a+1)x+a2-60恒成立，则实数a的取值范围为.(3) 若存在x-2，1，使得x2-(2a+1)x+a2-60成立，则实数a的取值范围为.【答案】(1) (2) (-，-4)(1+，+)(3) (0，+)(-，1-)【解答】(1) 由题意知，0，即(2a+1)2-4(a2-6)0，解得a-，所以实数a的取值范
8、围是.(2) 由题意知，或或0，解得a1+或a0或1-(2a+1)+a2-60时，即a0或a1+或a1-时满足题意，所以实数a的取值范围是(0，+)(-，1-).1. (2015江苏卷)不等式4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由题意得，x2-x2-1x2，解集为(-1，2).2. (2015宿迁一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+x，则关于x的不等式f(x)0，则-x0时，f(x)=-x2+x，即f(x)=所以f(x)2，即f(x)-2的解集为(2，+).3. (2014苏北四市期末)已知函数f(x)=x|x-2|，那么不等式f(-x)f(1)的解集为.(
9、第3题)【答案】-1，+)【解析】f(x)=x|x-2|=其图象如图所示.令f(t)f(1)=1，当t2时，f(t)1恒成立；当t2时，由f(t)1，解得2t1+，综上，得t1+.在f(-x)f(1)中，只需-x1+，即x-1，所以原不等式的解集为-1，+).4. (2014苏州期末)若不等式0时，不等式的解集是，显然不符合题意.(2) 当m0时，当m=-1时，不等式化为-10，对于x1均成立，满足题意；当-1m0时，不等式的解集是，要使不等式0(m0)对一切x4恒成立，则有4，结合-1m0，解得-1m-；当m-1时，不等式的解集是，所以-4恒成立.综上，实数m的取值范围为.5. (2015宿
10、迁一模)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f(f(x)0的解集为空集，则实数a的取值范围是.【答案】(-，-2【解析】因为f(x)=x-(a+1)x-(a-1)，所以f(f(x)0等价于f(x)-(a+1)f(x)-(a-1)0，从而a-1f(x)a+1，要使f(f(x)0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，则实数a=.【思维引导】方法一：方法二：方法三：方法四：【规范解答】(典例)令y1=(a-1)x-1，y2=x2-ax-1.方法一：当a=1时，y1=(a-1)x-1=-1，y2不恒小于0，所以不合题意，故a1.因为一次函数y1=(a-1)x-1和二次函数y
11、2=x2-ax-1的图象均过定点(0，-1)，如图，当x0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，所以这两个函数的图象在y轴的右边且同时在x轴的上方或同时在x轴的下方.因为点M在函数y1=(a-1)x-1的图象上，所以函数y2=x2-ax-1的图象一定也过点M，代入得-1=0，解得a=或a=0(舍去).方法二：设f(x)=(a-1)x-1(x2-ax-1)(x0)，由f(1)0且f(2)0，得解得a=.检验，当a=，x0时，f(x)=(x-2)20成立.方法三：由题知f(x)=(a-1)x-1(x2-ax-1)=(a-1)(x-x1)(x-x2)0.其中x1，x2是方程x2-ax-1=0的
12、两个根.由x1x2=-1，令x10，由于x0时不等式恒成立，因此a-10，x2=.将x=代入方程x2-ax-1=0，得-1=0，解得a=或a=0(舍去)，故a=.方法四：将原不等式写成关于a的二次不等式形式ax-(x+1)(ax-x2+1)0，由于x0，故当00时不等式恒成立，因此令x=2，则a，故a=.变式(2014苏中三市、宿迁调研(一)若不等式(mx-1)3m2-(x + 1)m-10对任意的m(0，+)恒成立，则实数x的值为.【答案】1(变式)【解析】方法一：显然x0，若x0，则mx-10，与题设矛盾.而当x0时，要使(mx-1)3m2-(x+1)m-10对m(0，+)恒成立，则关于m
13、的方程mx-1=0与3m2-(x+1)m-1=0在(0，+)内有相同的根，所以3-(x+1)-1=0，解得x=1或x=-(舍去).方法二：(图象法)设函数y1=mx-1，y2=3m2-(x+1)m-1，要使不等式(mx-1)3m2-(x+1)m-10对任意的m(0，+)恒成立，则必有x0，作出两个函数的图象，则有两个函数的图象交于点，即m=是方程3m2-(x+1)m-1=0的根，所以3-(x+1)-1=0，解得x=1或x=-(舍去).温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第17-18页.【课后检测】第2讲不等式的解法与三个“二次”的关系一、填空题1. 若关于x
14、的不等式ax2+2x+a0的解集为R，则实数a的取值范围是.2. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，且当x0时，f(x)=x2-4x，那么不等式f(x+2)5的解集是.3. (2015南京、盐城、徐州二模)已知函数f(x)=，xR，则不等式f(x2-2x)f(3x-4)的解集是.4. (2015泰州二模)已知函数y=的定义域为R，值域为0，+)，则实数a的取值集合为.5. 设对任意实数x-1，1，不等式x2+ax-3a0恒成立，则实数x的取值范围为.8. (2015常州四校联考)已知a0且a1，当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围.二、 解答题9. (2015南京三模)已
15、知a，t为正实数，函数f(x)=x2-2x+a，且对任意的x0，t，都有f(x)-a，a.若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，求函数g(a)的值域.10. 已知二次函数f(x)=ax2+x，若对任意的x1，x2R，恒有2ff(x1)+f(x2)成立，不等式f(x)0的解集为A.(1) 求集合A；(2) 设集合B=x|x+4|0的解集为R，必须满足解得a1.2. (-7，3)【解析】当x0时，f(x)=x2-4x5的解集为0，5).又f(x)为偶函数，所以f(x)5的解集为(-5，5)，所以f(x+2)5的解集为(-7，3).3. (1，2)【解析】因为f(x)=所以函数f(x)在(-，
16、0)上单调递增，所以解得1x2.4. 1【解析】由定义域为R，知x2-2x+a0恒成立.又值域为0，+)，则函数y=x2-2x+a的图象只能与x轴有1个交点，所以=4-4a=0，则a=1，故实数a的取值集合为1.5. 【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x-1，1，不等式x2+ax-3a.6. 4【解析】由题意得a2=4b.又由x2+ax+b=c得AB=|x1-x2|=2.同理可得CD=2.因为四边形ABCD为梯形，所以25=(2+2)5，解得c=4.7. (-，1)(3，+)【解析】把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4)，则f(a)0
17、对于任意的a-1，1恒成立，易知只需f(-1)=x2-5x+60且f(1) =x2-3x+20即可，联立方程可解得x3.8. (1，2【解析】将不等式x2-axx2-，左右两边分别构造基本函数y1=ax，y2=x2-.“当x(-1，1)时，不等式x2-ax1，还是0a1，对自变量x取区间(-1，1)内每一个值时，函数y1=ax的对应点时刻都比y2=x2-的对应点高.画出函数y1=ax，y2=x2-的图象如图所示.由图可以看出a1或1a2，所以a的取值范围为(1，2.(第8题)9. 因为f(x)=(x-1)2+a-1，且f(0)=f(2)=a，当a-1-a，即a时，此时，恒有a-1，a-a，a，
18、故t(0，2，从而g(a)的最大值为2；当a-1-a，即0a时，此时t(0，1)且t2-2t+a-a在0a上恒成立，即t1+(不成立，舍去)或t1-，由于0a0.由f(x)=ax2+x=ax0，解得A=.(2) 由题解得B=(-a-4，a-4)，因为集合B是集合A的子集，所以a-40且-a-4-，即a4且a2+4a-10，解得0a-2+.即实数a的取值范围为(0，-2+.11. (1) 当b=+1时，函数f(x)=+1，故其图象的对称轴为直线x=-.当a-2时，g(a)=f(1)=+a+2；当-22时，g(a)=f(-1)=-a+2.综上，g(a)=(2) 设s，t为方程f(x)=0的解，且-1t1，则由于0b-2a1，因此s(-1t1).当0t1时，st，由于-0和-9-4，所以-b9-4.当-1t0时，st.由于-20和-30，所以-3b0.故b的取值范围是-3，9-4.