1、课时提升练(二十三)正弦定理和余弦定理的应用举例一、选择题1如图379所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()图379A.B.C.D.【解析】由题意可得，在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .故选A.【答案】A 2在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为4
2、5，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m【解析】依题意画出示意图则，CM1037.3(m)【答案】C3如图3710所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()图3710A30 B45 C60 D75【解析】依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.【答案】B4如图3711所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线
3、上的A，B，C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，则DEF的余弦值为()图3711A. B. C. D.【解析】如图所示，作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.故选A.【答案】A5某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图3712所示)，则旗杆的高度为()图3712A10 m B30 m C10 m
4、D10 m【解析】如图，在ABC中，ABC105，所以ACB30.由正弦定理得，所以BC2020(m)，在RtCBD中，CDBCsin 602030(m)【答案】B6如图3713所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos 等于()图3713A. B. C. D.【解析】如题图所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，BC20，由正弦定理得，sinACBs
5、inBAC.由BAC120，知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.【答案】B二、填空题7已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处， A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.【解析】如图，由已知得ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos 120，即3222x222xcos 120，即x22x50，解得x1.【答案】18一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C，D恰好与它在一条直线上，继续
6、航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60方向，灯塔D在它的南偏西75方向，则这艘船的速度是_海里/小时【解析】如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】109如图3714所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米图3714【解析】由条件可知OD250100米，DC350150米且ODC6
7、0，在OCD中，OC2OD2DC22ODDCcos 6010021502210015017 500，OC50(米)【答案】50三、解答题10.如图3715所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？图3715【解】由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理，得，DB10(海里)，又DBCDBAABC60，BC20(
8、海里)在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC300120021020900.CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)11如图3716所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以每小时100千米的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500千米且与海岸距离为300千米的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件稿件交送给这辆汽车的司机图3716(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角【解】(1)设快艇以v千米/小时的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇在ABC中，AB500，A
9、C100t，BCvt，BD为AC边上的高，BD300.设BAC，则sin ，cos ，由余弦定理BC2AC2AB22ABACcos ，v2t2(100t)250022500100t，整理得：v210 000250 00010 000250 00023 600.当，即t(小时)时，v3 600，vmin60.即快艇至少以60千米/小时的速度行驶才能把稿件送到司机手中(2)当v60千米/小时时，在ABC中，AB500，AC100625，BC60375，由余弦定理cosABC0，ABC90，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东行驶12郑州市某广场有一块不规则的绿地如图3717所示，城建部门欲在该地上建造
10、一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.图3717(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)【解】(1)在ABC中，由余弦定理得cos C，在ABD中，由余弦定理得cos D，由CD得cos Ccos D.解得AB7.所以AB的长度为7米(2)小李的设计使建造费用较低理由如下：易知SABDADBDsin D，SABCACBCsin C，因为ADBDACBC，且CD，所以SABDSABC.故选择ABC的形状建造环境标志费用较低即小李的设计使建造费用较低