1、第四节数列求和考情展望1.考查等差、等比数列的求和.2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧一、公式法与分组求和法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常用的拆项方法(1)(2)
2、()(3)(4)四、倒序相加法和并项求和法1倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的2并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1等差数列an的通项公式为an2n1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为()A120 B70 C75 D100【解析】Snn(n2)，n2.数列前10项的和为：(1210)20
3、75.【答案】C2数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n等于()A9 B99 C10 D100【解析】an，又a1a2an(1)19，n99.【答案】B3若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12 C12 D15【解析】an(1)n(3n2)，a1a2a10(14)(710)(2528)3515.【答案】A4已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B. C. D.【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.【答案】A5(2013辽宁高考)
4、已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.【解析】因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且数列an是递增的等比数列，所以a11，a34，q2，所以S663.【答案】636(2013重庆高考)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_. 【解析】借助等比中项及等差数列的通项公式求出等差数列的公差后，再利用等差数列的求和公式直接求S8.a1，a2，a5成等比数列，aa1a5(1d)21(4d1)，d22d0，d0，d2.S881264.【答案】64考向一 093分组转化求和已知数列an满
5、足a11，且an3an12n1(n2)(1)证明an2n是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.【思路点拨】(1)证明：q(q为非零常数)便可(2)求an的通项公式，分组求和求Sn.【尝试解答】(1)证明：当n2时，由an3an12n1，得3.又a11，a1213数列an2n是首项为3，公比为3的等比数列(2)由(1)知an2n3n，an3n2n.Sna1a2an(3121)(3222)(3323)(3n2n)(3132333n)(2122232n)2n1.规律方法1分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和.(2)通项公式
6、为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.对点训练(1)已知数列an的通项为an，Sn为数列an的前n项的和，则S20等于()A2 246B2 148C2 146 D2 248(2)若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21 B2n1n21C2n1n22 D2nn2【解析】(1)S20a1a2a3a4a20(a1a3a5a19)(a2a4a6a20)(13519)(212223210)10021122 146.(2)Sn(2122232n)135(2n1)2n1n22.【答案】(1)C(2)C考向二 094裂项相消法求和(20
7、13课标全国卷)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和【思路点拨】(1)结合等差数列的求和公式列出关于首项和公差的方程组求解；(2)裂项求和，但要注意裂项后的系数【尝试解答】(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.规律方法21.本例第(2)问在求解时，常因“裂项”错误，导致计算失误2利用裂项相消法求和应注意以下两点(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数
8、之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.对点训练已知等差数列an中，a28，S666.(1)求数列an的通项公式an；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.【解】(1)设等差数列an的公差为d，则由题意得解之得an6(n1)22n4.(2)bn，Tn，考向三 095错位相减法求和(2013山东高考)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1) 求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN*，求bn的前n项和Tn.【思路点拨】(1)由于已知an是等差数列，因此可考虑用基本量a1，d表示已知等式，进而求出an的通项公式(2)先求出，进而求出bn的通项公式，再用错
9、位相减法求bn的前n项和【尝试解答】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN*.(2)由已知1，nN*，当n1时，；当n2时，1.所以，nN*.由(1)知an2n1，nN*，所以bn，nN*.所以Tn，Tn.两式相减，得Tn，所以Tn3.规律方法31.正确认识等式“”是求解本题的关键，其含义是数列的前n项的和.2.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,3.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意.(2)在写出“Sn”和“qS
10、n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达式.对点训练(2012江西高考)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.【解】(1)当nkN时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因为bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.规范解答之九数列求和问题1个示范例1个规范练(12分)(2014潍坊模拟)已知公比为q的等比数列an是递减数列，且满足a1a2a3，a1a2a3.(1)求
11、数列an的通项公式；(2)求数列(2n1)an的前n项和为Tn；(3)若bn(nN*)，证明：.【规范解答】(1)由a1a2a3及等比数列性质得a，即a2，1分由a1a2a3得a1a3.由得，所以，即3q210q30，解得q3，或q.3分因为an是递减数列，故q3舍去，q，由a2，得a11，故数列an的通项公式为an(nN*).4分(2)由(1)知(2n1)an，所以Tn1，Tn5分得：Tn112122所以Tn38分(3)因为bn(nN*)n，9分所以22，11分因为n1，所以.12分【名师寄语】1.正确应用等差数列和等比数列基本量的关系解题是处理此类问题的关键.2.明确“错位相减法”及“裂项相消法”的适用条件，准确计算，确保不失分.3.数列的单调性类同于函数的单调性，其是处理数列不等式的有效工具.(2014洛阳模拟)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【解】(1)设an的公差为d，则由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式两边同乘以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn，两式相减得：(1q)Sn1q1q2qn1nqnnqn.Sn.若q1，则Sn123n，Sn