1、3.2.3 利用向量解决 空间角问题 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。123(,)aa a a1.若，123(,),bb b b则：数量积：a b1 12 23 3a ba ba b夹角公式：cosa b111222(,),(,)A x y zB x y z2.若，则：212121(,)xx yy zzAB|a bab1 12 23 3222222123123a ba ba baa
2、abbb|cos,aba b异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CD AB与 的关系？思考：,DC AB 与 的关系？结论：coscos,CD AB|题型一：线线角11111111111113.1 17,.ABCDA B C DEFA B C DBEDF例如图在正方形中分别是的一个四等分点 求与所成角的余弦值.,.余弦值进而求出它们所成角的它们的数量积与模计算出的坐标表示我们可以通过此因所成的角与就是所成的角与分析111111DFBEDFBEDFBEABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713.图题型一：线线角ABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713.图则系基底建立空间直角坐
3、标为单位正交分别以正方体的棱长为不妨设如图解,.OxyzDDDCDA111713,1410000143101111FDEB,141001114311BE所以,141000014101DF,141000014101DFABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713.图4171|DF4171|BE.16151141410011 DFBE.|,cos17154174171615111111DFBEDFBEDFBE所以.,171511所成角的余弦值是与因此DFBE探究1：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF
4、取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,),(,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF 111(,1)22BD 11cos,AF BD1111|AF BDAFBD113041053421BD1AF所以 与 所成角的余弦值为 3010练习：在长方体中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(
5、1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8,4),A D 10AM A D1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M直线与平面所成角的范围：0,2 ABO,n BA 与 的关系？思考：n结论：sincos,n AB|题型二：线面角直线AB与平面所成的角可看成是向量与平面的法向量所成的锐角的余角，所以有nABnABnAB,cossin A1B1D1C1ABCDE1F11111111111214B C DD CD ED CE FD AC11例：在正方体ABCD-A中，F是BC的中点，点E 在上，且，试求直线与平面所成角的大
6、小。探究二：题型二：线面角在长方体中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：1BABCD1A1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8,4),A D ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD A D2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55练习：1111ABCDABC D的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角二面角的范围：0,1n2n2n1nc
7、os12|cos,|n ncos12|cos,|n nABO关键：观察二面角的范围111111ABCDA B C DABDC D例3：在正方体中，求二面角的大小ED1C1A1B1ABCD1111111114,123E FABCDA B C DBCCDA DEFA FB EBCD BB例：已知分别是正方体的棱和的中点，求：（）与所成角的大小（）与平面所成角的大小（）二面角的大小D1C1A1B1ABCDEF题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0探究三:如所示，A BC D 是一直角梯形，A BC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS,1,1,2.AABCD
8、 SAABBCADSCDSBA0例三如所示，A BC D 是一直角梯形，A BC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,0),(0,1)22CDSDC(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD nSD由得：0202yxyz 22yxyz 2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn63即所求二面角得余弦值是立体几何中的向量方法坐标法例四：已知：ABC为正三角形，EC平面ABC,且EC,DB
9、在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：平面ADE平面ACE.yCzBDAExN怎样建立适当的空间直角坐标系？怎样证明平面ADE平面ACE？如何求平面ADE、平面ACE的法向量？一个平面的法向量有多少个？能否设平面ADE的法向量为n=(1,y,z)?这样做有什么好处？解：分别以CB，CE所在直线为y,z轴，C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,如右下图,设正三角形ABC边长为2则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、A(31 0)，yCzBDAExN设N为AC中点，则N 连接BN，ABC为正三角形，BNAC，EC平面ABC,BNEC,又ACEC=C,BN
10、平面ACE.因此可取向量为平面ACE的法向量.那么BN设平面ADE的法向量为n=(1,y,z),则 33BN(,0).22n n EA0DA03 1(0)22，EA(312)DA(311)(1y z312)0 (1yz)(311)032 3y=z33而，,)(，n=3 2 31)33(，n 3 2 33333BN(1)(0)0332222，-，平面DEA平面ACE.为了方便计算，能否取平面ACE的法向量为(33 0)ADE(33 2 3)?，、平面的法向量为，yCzBDAExN通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？步骤如下：1.建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；4写出几何意义下的结论.小结：1.异面直线所成角：coscos,CD AB|2.直线与平面所成角：sincos,n AB|3.二面角：cos 12|cos,|n n关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2ncos 12|cos,|n n