1、同构换元法在求解含指对数混合式的运用有一类混合指对数式的函数导数压轴试题,常常可以通过指数与对数的互相转化,实现局部同构,并对同构部分的式子进行换元,从而化繁为简,并结合重要不等式进行求解,我们把此方法称为“局部同构换元法”,要掌握这种解题方法:首先,必须掌握几个常见的指对数的互化变形:等;其次,必须掌握几个重要的不等式:,等,同时必须明确不等式中等号成立的条件.有了上述的两个基础知识,我们就可以应用“局部同构换元法”解决求函数的最值、不等式的证明、恒成立问题求参数等问题.一、同构换元法求函数最值利用重要的不等式进行放缩,是求函数最值的一种常见方法.因此,含有复杂的指对数函数问题,可以通过局部
2、同构换元,并结合重要不等式进行放缩,把函数放缩至某常数,则该常数可能为函数的最值.此时,需注意在函数的定义域内是否存在对应的变量使得函数取得该最值.例1已知函数的最小值分另为,则( ).A.B.C.D.的大小关系不确定解法1：2,易知,当且仅当时,等号成立.所以.所以当且仅当时,取得最小值,即.,易知,当且仅当时,等号成立.所以.所以当且仅当时,取得最小值,即.故选.解法2：,易知,当且仅当时,等号成立.所以.故当且仅当时,取得最小值,即.,易知,当且仅当时,等号成立.所以.所以当且仅当时,取得最小值,即.因此,故选.二、同构换元法证明不等式证明含有指对数式的不等式,可以尝试先对原不等式进行转
3、化,从而构造出相同的式子,并进行换元,然后构造关于新元的函数,并求解含新元函数的最值,从而实现不等式的证明.例2.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,求证：当时,.解法1:(1)略;(2)不等式,等价于,等价于.易知.令,故上式成立,不等式得证.解法2:(1)略;(2)不等式,等价于,等价于.易知.令,故上式成立,不等式得证.三、同构换元法求参数范围在含参不等式的恒成立问题中,若能构造出几个熟悉不等式的形式,那么就可以猜测参数的临界位置及其范围,并对其进行证明.如此可使得解题目标、方向更加明确.例3.已知关于的不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围为( ).A. B. C. D.解法1:不等式等价于(*)易知,当且仅当时,等号成立.令,则,当且仅当(其中满足)时,等号成立.(1)当时,由知,.所以,故恒成立,满足题意.(2)当时,由知,.所以.又因为当时,此时,不满足题意.综上,.由上述三例可知,此方法的应用:一在于如何进行适当的恒等变形,从而得到相同的式子;二在于心中要有几个重要的不等式及其变式.此方法的应用一般都可以有两条途径,即,若能利用不等式解题,也应该能利用不等式解题
