1、高三数学（理科）2023-11第 1 页 共 2 页树德中学高 2021 级高三上学期 11 月阶段性测试数学（理科）试题命题人：李波波审题人：王钊、朱琨、唐颖君第 I 卷(选择题，共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合lg1,2,xAx yxBy yx R，则 AB（）A.1,0B.1,C.RD.,02.若复数 z 满足1 i23iz，则复数 z 的虚部是（）A.12B.1 i2C.52D.52 i3.已知命题:pxR，210 xx，命题 q：若 ab，则 11ab，下列命题为真命题的是(
2、)A pqB()pqC()pqD()()pq 4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A 403B 803C40D205.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左焦点为1,0Fc，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点 P 满足13PFc，且 POc，则双曲线C 的离心率为（）A212B31C312D316.若实数 x，y 满足约束条件2 000 xyxyxa ，若2zxy的最大值等于 3，则实数a 的值为()A 1B1C2D37已知(,)ax y，(1,9)(0,0)bxxy，若/ab，则 xy的最小值为()A6B9C16D188.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现
3、方法，它是以神经网络为出发点的在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 L00GGL D，其中 L 表示每一轮优化时使用的学习率，L0 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G0 表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 22，且当训练迭代轮数为 22 时，学习率衰减为 0.45，则学习率衰减到 0.05 以下(不含 0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 30.477)()A477B478C479D4809.设(),()f x g x 是定义在 R 上的两个周期函数，()f x 的周期为 4，()g x 的周期为 2，且()f
4、x 是奇函数.当2(0,x时，2()1(1)f xx，(1),01,()1,122k xxg xx，其中0k.若在区间(0，5上，关于 x 的方程()()f xg x有 5 个不同的实数根，则 k 的取值范围是（）A3(0,)3B 123,)3C 1(23,)3D 12,)3410.已知(2,2)A，B，C 是抛物线22ypx上的三点，如果直线 AB，AC 被圆22(2)3xy截得的两段弦长都等于 2 2，则直线 BC 的方程为()A210 xy B3640 xyC 2630 xyD320 xy11.已知正四棱锥 OABCD的底面边长为6，高为 3以点 O 为球心，2 为半径的球 O 与过点A
5、,B,C,D 的球1O 相交，相交圆的面积为，则球1O 的半径为()A132 或6B132 或974C3 或974D3 或612.已知数列na的各项均不为零，1aa，它的前 n 项和为nS，且na，2nS，1(*)nanN成等比数列，记1231111nnTSSSS，则()A当1a 时，202240442023TB当1a 时，202240442023TC当3a 时，202210111012TD当3a 时，202210111012T第 II 卷(非选择题,共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上.136(12)x的展开式中含3x 项的系数为_（
6、用数字作答）14在平行四边形 ABCD 中，点 E 满足 AEAC，1344DEABAD，则实数 15.将函数()2sinf xx图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 21，得到()h x 的图像，再将函数()h x 的图象左移 8 个单位，得到()g x 的图象，已知直线 ya与函数()g x 的图象相交，记 y 轴右侧从左到右的前三个交点的横坐标依次为1a、2a、3a，若1a、2a、3a 成等比数列，则公比 q=_16.已知函数2()e2e2xxf xx在点00,P xf x处的切线方程为 l：yg x，若对任意 xR，都有0()()0 xxf xg x成立，则0 x _高三数学（
7、理科）2023-11第 2 页 共 2 页三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12 分）在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c 若3 sin(2cos)bAaB（1）求角 B 的大小；（2）D 为边 AB 上一点，且满足2CD，4AC，锐角三角形 ACD的面积为 15，求 BC 的长18（12 分）卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 100 名进行调查，部分数据如下表所示喜欢足球不喜欢
8、足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2 名男生和 1 名女生示范点球射门已知男生进球的概率为 23，女生进球的概率为 12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，记这 3 人进球总次数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望参考公式：22()()()()()n adbcKab cdac bd，其中 nabcd参考数据：20()P Kk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12 分）
9、如图，在四棱锥 PABCD中，PC 底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，ADDC，/ABDC，222ABADCD，点 E 是 PB 的中点（1）证明：平面 EAC 平面 PBC；（2）若直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为33，求二面角PACE的余弦值20（12 分）椭圆2222:1(0)xyCabab左、右顶点分别为 A，B，离心率为22，点(2,1)M在椭圆C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，记直线 AP 的斜率为1k，直线 BQ 的斜率为2k，且122kk过左顶点 A 作直线 PQ 的垂线，垂足为 H 问：在平面内是否存在定点T，使得|TH
10、 为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由21.（12 分）已知函数 ln(0)f xxaxb ba有两个零点1212,x xxx（1）若直线 ybxa与曲线 yf x相切，求 ab的值；（2）若对任意210,exax，求 ba的取值范围请考生在第 22、23 题中任选择一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的方程为2240 xyx曲线2C 的参数方程为cos(1sinxy 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方
11、程；（2）若射线(0,0)2 交曲线1C 于点 P，直线()2R与曲线1C 和曲线2C 分别交于点 M、N，且点 P、M、N 均异于点 O，求 MPN面积的最大值23（10 分）已知函数()|33|26|f xxx（1）求不等式()4f xx 的解集；（2）设()f x 的最小值为 m，若正实数 a，b，c 满足 abcm，求222abccab的最小值高三数学（理科）2023-11第 3 页 共 2 页树德中学高 2021 级高三上学期 11 月阶段性测试数学（理科）试题 答案一、选择题：1-6 ACDADB7-12 CCBBBC二、填空题：13.16014.1415.95或 516.ln 2
12、（也可以填1ln 2）17.解：（1）由正弦定理得3sinsinsin(2cos)BAABsin0A，3sin2cosBB2 分即3sincos2BB，即 2sin()26B，即 sin()16B 4 分0B，62B，即3B，即角 B 的大小为 3 5 分（2）ACD的面积为124sin152SACD，即15sin4ACD，6 分ACD是锐角三角形21cos14ACDsinACD，由余弦定理得2221242244164164AD，8 分则4AD，ACD为等腰三角形，15sinsinsin4BDCADCACD10 分则 BCD中，sinsinBCCDBDCB，得5BC 12 分18.解：（1）2
13、2列联表：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计901102002 分根据独立性检验公式可知，22200(60 7040 30)18.18210.828100 100 90 110K，4 分有 99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；5 分（2）这 3 人进球总次数 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，对应概率为2111(0)()3218P X，122211115(1)()3322318P XC，122211214(2)()332329P XC，2212(3)()329P X，9 分X的分布列如下：0123P118518492910 分54211()12318
14、996E X 12 分19.解：（1）证明：PC 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，PCAC，2AB，由1ADCD，ADDC且 ABCD 是直角梯形，22222,()2ACADDCBCADABDC，222ACBCAB，ACBC，又 PCAC，PCBCC，PC 平面 PBC，BC 平面 PBC，AC 平面 PBC，AC 平面 PBC，又 AC 平面 EAC，平面 EAC 平面 PBC；4 分（2）方法一：由（1）知 BC 平面 PAC，BPC即为直线 PB 与平面 PAC 所成角，23sin3BCBPCPBPB，6PB，则2PC，6 分取 AB 的中点 G，连接 CG，以点 C 为坐标原点，
15、分别以 CG、CD、CP为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(0P，0，2)，(1A，1，0)，(1B，1，0)，11(,1)22E，(1,1,0)CA，(0,0,2)CP，11(,1)22CE，设平面 PAC 的法向量为111(,)mx y z，则111020m CAxym CPz，取(1,1,0)m，8 分设平面 ACE 的法向量为222(,)nxyz，则22222011022n CAxyn CExyz ，取(1,1,1)n ，10 分1 1(1)(1)0(1)6cos,323m n ，11 分又由图知所求二面角为锐角，二面角 PACE的余弦
16、值为63 12 分方法二：由（1）知 BC 平面 PAC，BPC即为直线 PB 与平面 PAC 所成角，23sin3BCBPCPBPB，6PB，则2PC，6 分高三数学（理科）2023-11第 4 页 共 2 页因为 AC 平面 PBC，所以PCE即为二面角 PACE的平面角，8 分在 Rt PBC中，6,2PBBC，62,2PCPECE，所以6coscos3PCPCEEPCPB，11 分所求二面角为锐角，二面角 PACE的平面角的余弦值为63 12 分20.解：（1）依题意，2222222211caababc，解得222422abc，所以椭圆 C 的方程为22142xy；4 分（2）依题意2
17、 0A ，2 0B，设11,P x y，22,Q xy，若直线 PQ 的斜率为 0，则 P，Q 关于 y 轴对称，必有APBQkk，不合题意；所以直线 PQ 斜率必不为 0，设其方程为 xtyn2n ，与椭圆 C 联立2224xyxtyn，整理得：2222240tytnyn，所以22222244248 240t ntntn，且12221222242tnyytny yt，6 分因为11,P x y是椭圆上一点，即2211142xy，所以21211122111121222442APBPxyyykkxxxx，则122APBQBPkkk，即14BPBQkk，7 分因为12121224yyxx，得121
18、24220y yxx即 2212121212422422y ytyntynty yt nyyn222224242222ntntt nntt 22222244222202tnt n nntt，因为2n，222422220tnt nnt，2222248222240nt ntt nntnt整理得640n，解得23n ，直线 PQ 恒过定点2 03N，.10 分因为 AHPQ，所以点 H 在以 AN 为直径的圆上，11 分故存在点034T，为 AN 的中点，满足题意.12 分21.解：（1）由 lnf xxaxb，可得其定义域为0,且 1fxax，设切点为000,lnxxaxb，则切线斜率01kax，
19、所以切线方程为00001lnyaxxxaxbx，即001ln1ya xxbx，所以001ln1abxxba ，则0011 lnabxx，3 分设 1ln1F xxx，则00F x，且 211Fxxx，令 0Fx，解得1x，当0,1x 时，0,FxF x在0,1 上单调递减；当1,x 时，0,FFxx在1,上单调递增，所以 min()10F xF，所以01x ，所以011abx 5 分（2）设(1)bma m，由120f xf x，得1122lnln0 xaxmaxaxma，整理得1212lnln0 xxaxmxm，由图像知10,1x，设21xtx，则由题意可知，et，所以111111lnlnl
20、nlnxtxtxaxmtxmtxm，整理得111lnln1xxtxmt，7 分高三数学（理科）2023-11第 5 页 共 2 页设 lne1tG ttt，则 211ln(1)ttG tt，设 11lnH xtt ，则 2110Httt，所以 H t 单调递减，所以 1e0eH tH，即 0G t，所以 G t 单调递减，所以 1ee 1G tG，即111ln1e 1xxxm，9 分可得，111ln1e 1xxxm 对任意10,1x 恒成立，整理得111e 1lnxxxm，设 e 1ln0,1xx xx x，则 e 1 lne2xx，令 0 x，解得2 ee 1ex，当2 ee 10,ex时，
21、0,xx在2 ee 10,e上单调递减；当2 ee 1e,1x时，0,xx在2 ee 1e,1上单调递增，所以2 e2 e2 e2 ee 1e 1e 1e 1min()e2e ee1 e ex，所以2 ee 11 e em，即2 ee 1e 1 em所以 ba的取值范围为 2 ee 1e 1 e，12 分22.解：（1）把cosx，siny代入2240 xyx，得曲线1C 的极坐标方程为24 cos，即4cos2 分将cos1sinxy 中的参数消去，得曲线2C 的普通方程为2220 xyy，把cosx，siny代入，得曲线2C 的极坐标方程为22 sin，即2sin5 分（2）由题得|4co
22、sOP，3|4cos()4sin2OM，|2sin()2cos2ON，|4sin2cosNMOMON，7 分因为 OPMN，所以211|(4sin2cos)4cos2(4sincos2)22MPNSMNOPcos2(2sin 2cos21)2 5sin(2)2 2 52，其中1tan2，02，当 22，即42 时，MPN的面积取得最大值 2 5210 分23.解：（1）当1x时，原不等式等价于(33)264xxx，解得52x；当 13x 时，原不等式等价于 33264xxx，解得134x；当3x 时，原不等式等价于 33(26)4xxx，解得3x 综上所述，原不等式的解集是51(,)24 5 分（2）由（1）得9,1()53,139,3xxf xxxxx ，所以()(1)8minf xf ，则8abc7 分因为22acac ，22baba ，22cbcb ，所以2222()16abcabcabccab，即2228abccab，当且仅当83abc时等号成立，故222abccab的最小值为 810 分
