1、高三数学（理科）2021-10 阶考第 1 页 共 2 页 树德中学高 2019 级高三上学期 10 月阶段性测试数学（理科）试题考试时间：120 分钟满分：150 分命题、审题：高三数学备课组一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每道题 4 个选项中只有一个符合题目要求）。1设集合220AxN xx，132Bxx，则 AB A122xxB132xxC 1D1,22已知 z 是虚数 z 的共轭复数，则下列复数中一定是纯虚数的是A zzB zzC z zD zz3某市物价部门对 5 家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5 家商场的售价 x（元）和销售量 y（件）
2、之间的一组数据如表所示：价格 x99.51010.511销售量 y1110865按公式计算，y 与 x 的回归直线方程是：3.2yxa，相关系数0.986r，则下列说法错误的是A变量 x，y 线性负相关且相关性较强；B40a；C当8.5x 时，y 的估计值为 12.8；D相应于点10.5,6 的残差为 0.44若数列 na的前n 项和为nS，则“12nnn aaS”是“数列 na是等差数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知函数 xf xe，sing xx，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是A yf xg xB.yf xg xC yf x g xD
3、g xyf x6如图,在梯形 ABCD 中，AB/DC，AB=2CD，E 为线段 AD 的中点，且 4BF=AB，则 EF=A 12 DC BCB 12 DCBCC12DCBCD12DCBC7曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为ABCD8若执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为A 12B-1C1 D29已知正数，满足112sin2sinee，则下列不等式错误的是A122 BlnlnC114D 1111ee10已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2，M，N 分别为棱 AD，BC 的中点，F 为棱 AB 上异于 A，B 的动点有下列结论：线段 MN 的长度为 1；若点 G 为线段 MN 上的
4、动点，则无论点 F 与 G 如何运动，直线 FG 与直线 CD 都是异面直线；MFN的余弦值的取值范围为0,5)5；FMN 周长的最小值为21 其中正确结论的为ABCD11已知 sin03f xx，63ff，且 f x 在区间,6 3 上有最小值，无最大值，则 A 23B143C143 或 383D108,3kk Z12双曲线2222:10,0 xyCabab的左顶点为 A，右焦点为 F，离心率为 2，焦距为 4.设 M 是双曲线C 上任意一点，且 M 在第一象限，直线 MA 与 MF 的倾斜角分别为1，2，则122的值为A 2B 23CD与 M 位置有关二、填空题（本题共 4 小题，每小题
5、5 分，共 20 分）134(1)1-2xx的展开式中4x 的系数为（用数字作答）14已知变量 x，y 满足：32,0 xyyxx y，则22(-1)zxy的最小值为15北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书营造法式，其中说到“方一百，其斜一百四十有一”，即一个正方形的边长与它的对角线的比是1:1.414，接近1:2.如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是 90的圆弧，所得弧线称为 2 螺旋线，称公比为 2 的数列为 2 等比数列.已知 2 等比数列 na的前 n 项和为nS，满足222(12)nnSS.若2
6、lognnba，且652111041iib，则 的最小整数为_.（参考数据：lg20.3010，lg30.4771）cos16yaxx2x1yxa2222高三数学（理科）2021-10 阶考第 2 页 共 2 页 16已知定义在 R 上的函数 0f x，满足 24f xf x，且1,1x ，4f xfx，当10 x 时，2xf xk(k 为常数)，关于 x 的方程 log11f xx(8a 且1a )有且只有 3 个不同的根，则能推出下列正确的是（请填写正确的编号）函数 f x 的周期2T f x 在1,1单调递减 f x 的图象关于直线1x 对称实数 a 的取值范围是2,2 2三、解答题（本
7、大题分必考题和选考题两部分，第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）17（12 分）设函数 f xm n，其中向量2cos,1mx，cos,3sin2nxx（1）求函数 f x 的最小正周期与单调递减区间；（2）在 ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 2f A，1b ，ABC 的面积为32，判断 ABC 的形状，并说明理由18（12 分）某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百
8、年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60 人，将他们的年龄分成 7 段：10,20,20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,8 0 后得到如图所示的频率分布直方图.（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60 人年龄的平均数；（2）若从样本中年龄在50,70 的居民中任取3 人，这3 人中年龄不低于60 岁的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望；（3）一支200 人的队伍，男士占其中的 38，40 岁以下的男士和女士分别为30和70 人，请补充完整 22 列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40 岁以下的群
9、众是否参与健步走活动与性别有关.附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd20P Kk0.050.0250.0100.0050.0010k3.8415.0246.6357.87910.82819（12 分）如图，在梯形 ABCD中，/AB CD，1ADDCCB，120BCD，四边形 BFED 为矩形，平面 BFED 平面 ABCD，1BF .（1）求证：BD 平面 AED，AD 平面 BDEF；（2）点 P 在线段 EF 上运动，设平面 PAB与平面 ADE 所成锐二面角为，试求 的最小值.20（12 分）已知1F，2F 分别为椭圆2222:1xyC ab0ab（）的左、
10、右焦点，椭圆上任意一点 P 到焦点距离的最小值与最大值之比为 13，过1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点 A、B 与右焦点2F 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由21（12 分）设函数 ln1xf xx.（1）求 f x 的单调区间；（2）如果当0 x，且 x 1 时，ln1xkf xxx恒成立，求k 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原
11、点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin2 cos0aa，过点 2,4P 的直线l 的参数方程为222242xtyt （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于 A，B 两点（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若2PA PBAB，求a 的值23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 2g xx，f xxa（1）当1a 时，解不等式 102g xf x；（2）若正数 a，b，c，d 满足 224abg，221cd，求acbd的最大值40 岁以下40 岁以上合计男士30女士70合计200高三数学（理科）2021-10 阶考第 3 页
12、 共 2 页 树德中学高 2019 级高三上学期 10 月阶段性测试数学（理科）试题参考答案1-12 CBDCC DAABD BC13.-1614.1515.5 16.17.（1）22cos3sin 2cos23sin 212sin(2)16f xm nxxxxx ，所以最小正周期是22T，3222262kxk，解得263kxk，减区间是2,63kkkZ；（2）由（1）()2sin(2)126f AA，1sin(2)62A，因为(0,)A，所以132(,)666A，所以5266A，3A，113sin1sin2232ABCSbcAc ，2c，22212cos142 1 232abcbcA ，22
13、2cab，2C，所以ABC 是直角三角形18解：（1）这 60 人年龄的平均数为15 0.1525 0.235 0.345 0.1555 0.1 65 0.0575 0.0537（2）由题意可知，年龄在50 60，内的人数为 6，60 70，内的人数为 3，X 的可能取值有0,1,2,3.306339205(0)8421C Cp XC2163394515(1)8428C CP XC126339183(2)8414C CP XC0363391(3)84C CP XCX的分布列为：45363()184E X（3）由题意队伍中男士共75人，女士125人，则 22 列联表如下：40 岁以下40 岁以上
14、合计男士304575女士7055125合计10010020022200(30 5570 45)4.8100 100 75 125K4.83.8 4 1所以，有 95%的把握认为 40 岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.19.解：（1）证明，在梯形 ABCD中，/ABCD，1ADDCCB，120BCD，30CDBCBD，120ADCDCB，90ADB，ADBD.平面 BFED 平面 ABCD，平面 BFED平面 ABCDBD，DE 平面BFED，DEDB，又 ADDED，BD 平面 ADE.又四边形 BDEF 是矩形，EDBD，ED 平面 ABCD，EDAD，EDBDD，AD 平面 BD
15、EF.（2）由（1）可建立直线 DA，DB，DE 为 x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令03EP，则0,0,0D，1,0,0A，0,3,0B，0,1P1,3,0AB ，0,3,1BP.设1,nx y z为平面 PAB的法向量，由1100nABn BP，得 3030 xyyz，取1y ，则13,1,3n.20,1,0n 是平面 ADE 的一个法向量，12221211cos3 13134n nn n.03，当3 时，cos 有最大值 12，的最小值为 3.20.解：（1）由题意，椭圆上任意一点 P 到焦点距离的最小值与最大值之比为 13，可得 1:3acac，即2ac，又由过1F
16、 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3，可得22222()3bacaa，联立方程组，可得：2a，1c ，所以2223bac，。、故椭圆C 的标准方程为22143xy.（2）设2ABF 的内切圆半径为 r，可得2221|2ABFSAFABBFr，又因为22|8AFABBF，所以24ABFSr，要使2ABF 的内切圆面积最大，只需2ABFS的值最大，由题意直线l 斜率不为 0，设11,A x y，22,B x y，直线:1l xmy，X0123P5211528314184高三数学（理科）2021-10 阶考第 4 页 共 2 页 联立方程组221431xyxmy，整理得2234690mymy，易得0，
17、且122634myym，122934yym，所以222212121212222213636121423431134ABFmmSF Fyyyyyymmm，设211tm ，则2212121313ABFtSttt，设13(1)yttt，可得2130yt，所以当1t ，即0m 时，2ABFS的最大值为 3，此时34r，所以2ABF 的内切圆面积最大为 916.21.解：（1）2211ln1ln.11xxxxxfxxx 令 11ln.h xxx 22111xh xxxx.当0,1x时，0,h xh x在(0,1)上单调递增.当1,x 时，0,h xh x在1,上单调递减.当0,x 时 ,10.h xh当
18、0,11,x 时,0.fx fx单调递减区间为 011,，没有单调递增区间.（2）当0 x 且1x 时，ln1xkf xxx，lnln0,11xxkxxx22112ln0.1xxkxx 令 12lng xxxkx，(1)0g，当0,1x时，2101x，当1,x 时，210.1x当0,1x时，0g x，当1,x 时，0.g x 2211gxkxx，由 1220gk得1k ，当1k 时，2222221212121110.xxxg xkxxxxxx g x在0,单调递减，满足条件当0,1x时，0g x，当1,x 时，0.g x 0k 时，0 x 时，()0g x，()g x 在(0,)上是增函数，不
19、合题意，10k 时，由()0g x得220kxxk，24 40k ，此方程有两个不等实根12,x x，121221xxkx x，因此120,0 xx，必有一根小于 1 另一根大于 1，不妨设1201xx，则12xxx时，()0g x，()g x 在12(,)x x上单调递增，不合题意综上，1k 22.解：（1）由2sin2 cos(0)aa得：22sin2cosa，曲线C 的直角坐标方程为：22yax，由222242xtyt 消去t 得：42yx ，直线l 的普通方程为：2yx（2）直线l 的参数方程为222242xtyt （t 为参数），代入22yax，得到22 2(4)8(4)0ta ta
20、，设 A，B 对应的参数分别为 1t，2t，则 1t，2t 是方程的两个解，由韦达定理得：122 2(4)tta，1 28(4)t ta，因为2PA PBAB，所以2212121 21 24ttttt tt t，解得1a 23.解：（1）当1a 时，102g xf x，即1212xx，当1x 时，1212xx，即112恒成立，故1x ，当12x时，1212xx，即1322x，解得：514x，当2x 时，1212xx，112 不成立，不等式无解，综上，不等式的解集是5|4x x.（2）由题意得：224422abg，且221cd，2222acbdacabcdbd2222acbdadbc22222abcd，2acbda，b，c，d 都是正数，当且仅当1ab，22cd时取“”，acbd的最大值是 2
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