1、第四章平面向量第一节平面向量的基本概念及线性运算考情展望1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则.2.以四种命题及充分必要条件为知识载体，考查向量的有关概念.3.借助共线向量定理探求点线关系或求参数的值一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)2零向量：长度为0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向
2、量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.(a)a；()aaa；(ab)ab向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”三、平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.巧用系数判共线(，R)，若A，
3、B，C三点共线，则1；反之，也成立1化简的结果为()A.B.C.D.【解析】 ()().【答案】D2下列给出的命题正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量有且仅有一个Ca与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D相等的向量必是共线向量【解析】 零向量方向任意，而不是没有方向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B错；若b0，b与a、c都平行，但a、c不一定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是共线向量，故D正确【答案】D3设a，b为不共线向量，a2b，4ab，5a3b，则下列关系式中正确的是()A. B.2C. D.2【解析】 (a2b)(4ab)(5a3b)
4、8a2b2(4ab)2.【答案】B4已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则的值为()A1 B1 C. D【解析】 由题意知abk(b3a)kb3ka，解得【答案】D5(2012四川高考)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|【解析】 表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选择项易知C满足题意【答案】C6(2013四川高考)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.【解析】 由向量加法的平行四边形法则，得.又O是AC的中点，AC2AO，2，2.又，2.【答案】2考
5、向一 071平面向量的有关概念给出下列四个命题：若|a|b|，则ab或ab；若，则四边形ABCD为平行四边形；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1B2C3D4【思路点拨】以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确【尝试解答】不正确|a|b|但a、b的方向不确定，故a，b不一定相等；不正确因为，A、B、C、D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线【答案】D规律方法11.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对
6、向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2.准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键.(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性.(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关.3.“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度.对点训练给出下列四个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中假命题的个数为()A1B2C3D4【解析】 不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点正确根
7、据向量相等的定义知不正确若b0时，b与a、c都平行，但a、c不一定平行不正确ab的充要条件是|a|b|且a，b同向【答案】C考向二 072平面向量的线性运算(2014宁波模拟)(1)在ABC中，若D是AB边上一点，且2，则()A.B.CD(2)若O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2【思路点拨】(1)D是AB边上的三等分点，把用、表示；(2)由D为BC边中点可得2，代入已知条件即可求解【尝试解答】(1)()，所以，故选A.(2)因为D为BC边中点，2，又20，220，即，故选A.【答案】(1)A(2)A规律方法21.解答本例(1)的关键是利用向量的加
8、法与减法把用、表示出来.解答本例(2)的关键是2.2.进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解.对点训练图411(1)如图411所示，向量a，b，c，A、B、C在一条直线上，若3，则()AcabBcabCca2bDca2b(2)若|2，则|_.【解析】 (1)33()33，23，cab.(2)|2，ABC是边长为2的正三角形，|为三角形高的2倍，所以|2.【答案】(1)A(2)2考向三 073共线向量定理的应用设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、
9、C、D三点共线(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A、C、F三点共线，求k的值【思路点拨】(1)A、C、D三点共线存在实数使.(2)A、C、F三点共线存在实数，使.【尝试解答】(1)e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，所以2，与共线，又与有公共点C，A、C、D三点共线(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A、C、F三点共线，从而存在实数，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因此k2.所以实数k的值为2. 规律方法31.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待
10、定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.对点训练(1)已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向(2)(2014洛阳模拟)对于非零向量a、b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】 (1)cd，cd，即kab(ab)ab，k1，故选D.(2)由ab0知道a与b互为相反向量，从而ab，充分性成立由ab知ab，1时，ab0，必要性不成立【答案】(1)D(2)A
11、易错易误之八忽视零向量的特殊性致误1个示范例1个防错练(2014荆州模拟)下列命题正确的是()A向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，0C不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量a、b不共线，则向量ab与向量ab必不共线【解析】 A不正确，当ab0时，有无数个实数满足ba.此处在求解时，常因忽视“共线向量定理中的条件a0”而致误B不正确，在ABC中，0.此处在求解时，常因混淆向量与数量的关系致误，0是向量，其模为0，而0是数量，没有方向C不正确，当b0时，不等式|a|a|a|显然成立此处在求解时，常受代数不等式|a|b|ab|a|b|的影响，而忽略
12、了向量中0的作用导致错误D正确向量a与b不共线，a，b，ab与ab均不为零向量若ab与ab平行，则存在实数，使ab(ab)，即(1)a(1)b，无解，故假设不成立，即ab与ab不平行，故选D.【防范措施】 (1)共线向量定理中，ba要求a0，否则值可能不存在(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数(3)应熟练掌握向量不等式|a|b|ab|a|b|等号成立的条件下列说法不正确的有_若ab，则a与b的方向相同或相反；若a0，则0；相反向量必不相等；若ae1e2，b2e1，R，且0，则ab 的充要条件是e20.【解析】 不正确，如a0.不正确，a0，则0或a0.不正确，00.不正确，当e1e2时该命题也成立【答案】