1、第二章平面解析几何21坐标法(教师独具内容)课程标准：1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.了解并掌握平面直角坐标系内的两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程.3.能用坐标法解决几何问题学法指导：经历运用向量法推导平面直角坐标系中的基本公式的过程，体会利用坐标法研究几何问题的思想，并学会运用坐标法来解决几何问题教学重点：两点之间的距离公式、中点坐标公式；坐标法教学难点：用坐标法解决相关问题.我们知道，在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系，那么在平面直角坐标系中，如果已知两点的坐标，你能计算出这两
2、点的距离吗？如果已知一条线段两端点的坐标，你能求出这条线段中点的坐标吗？知识点一数轴上的基本公式如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则|AB|x2x1|；x.知识点二平面直角坐标系中的基本公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点(1)|AB| ；(2)x，y.知识点三坐标法通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题这种解决问题的方法称为坐标法1对两点间距离公式的几点说明(1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|.(2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴
3、上两点间的距离公式的推广(3)若B点为原点，则|AB|OA|.(4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|x2x1|.(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|y2y1|.注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易(6)在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)|x1x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)d(A，C)d(B，C)2中点公式的两个应用(1)知二求一从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量(2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点1判
4、一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关()(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序()(3)数轴上点P(x)到O(0)的距离为x.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知ABC的三个顶点是A(a,0)，B(a,0)和C，则ABC的形状是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D斜三角形(2)设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|5，则x等于_.(3)点P(2，1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为_.答案(1)C(2)0或6(3)(4,9)题型一数轴上基本公式的运用例1已知数轴上三点A(1)，B(5)，C(x)(1)当|AB|BC
5、|8时，求x；(2)若B是AC的中点，求x.解(1)由A(1)，B(5)，C(x)，可知|AB|5(1)|6，|BC|x5|.当|AB|BC|8时，有6|x5|8，解得x3或x7.(2)由B是AC的中点，得5，解得x11.熟记公式并正确地理解数学符号的含义跟踪训练1已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(1)，B(3)，P(x)(1)当P与B的距离是P与A的距离的3倍时，求P(x)；(2)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时点P与线段AB是什么关系？(3)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)；若不存在，请说明理由解(1)由题意得，|x3
6、|3|x1|，即3(x1)x3或3(x1)3x，解得x3或x0，所以P(3)或P(0)(2)由题意知可以化为或或或解得x1.所以点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点(3)不存在这样的P(x)，因为|AB|31|46，因而在线段AB上找一点P使|PA|PB|336是不可能的.题型二平面直角坐标系内两点之间距离公式的应用例2已知平面直角坐标系中的点A(3,6)，x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标解设点P的坐标为(x,0)，由|AP|10，得 10，解得x11或x5，所以点P的坐标为(5,0)或(11,0)求平面直角坐标系中两点距离的步骤(1)给两点的坐标赋值：x1？，y1？，x2？
7、，y2？；(2)代入公式求解跟踪训练2已知三点A(2,1)，B(6,3)，C(1,3)，求证：ABC为直角三角形证明由两点间的距离公式，得|AB|，|AC|，|BC|，|AB|2|AC|2|BC|2，ABC为直角三角形.题型三中点坐标公式的应用例3已知ABC的顶点坐标是A(2,1)，B(2，3)，C(0,1)，求ABC的三条中线的长解设AB，BC，CA的中点坐标分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)，F(x3，y3)，则x10，y12，即D(0,2)x21，y22，即E(1,2)x31，y31，即F(1,1)故|CD|1，|AE|，|BF|.中点坐标公式的应用(1)线段的中点问题是常见问题，
8、中点法也是数形结合中常考查的方法，这一方法常借助于图像的线段中点特征加以研究，确定解题策略(2)若点P的坐标为(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点的坐标为(2x0x,2y0y)利用中点公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的ABC的重心坐标为.跟踪训练3已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(2,4)，B(3,5)，C(4,8)，求顶点D的坐标解平行四边形的两条对角线相交且互相平分，即AC与BD的中点重合设D的坐标为(x，y)，由中点坐标公式，得解得即D点坐标为(3,7).题型四坐标法的应用例4如图所示，ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角
9、形，用坐标法证明：|AE|CD|.证明如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系设ABD和BCE的边长分别为a和c，则A(a,0)，E，C(c,0)，D，于是|AE|，|CD|.所以|AE|CD|.对于平面几何的有关证明问题，如线段成比例、中点等等，可把几何图形放到坐标系中，利用距离公式证明比较简捷跟踪训练4已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系求证：|AM|BC|.证明如图所示，以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)因为点M是BC的中点，故点M的坐标
10、为，即.由两点间距离公式得|BC|，|AM|，所以|AM|BC|.题型五构造几何模型解决代数问题例5求函数y 的值域解显然函数的定义域为R，y设P(x,0)，A，B为平面上三点，则|PA|，|PB|.y|PB|PA|.|PB|PA|AB|，且|AB|1，|y|1，即1y0)，A(x，y)|AB|2(xa)2y2，|AC|2(xa)2y2，又|AD|2x2y2，|DC|2a2，|AB|2|AC|22(x2y2a2)2(|AD|2|DC|2)命题得证A级：“四基”巩固训练一、选择题1已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|等于()A2 B4 C D答案A
11、解析设D(x，y)，由题意知D(1,7)|CD|2.故选A2已知两点A(x，)和B(y，)，则|AB|等于()Axy B|xy|Cxy D|xy|答案D解析|AB|xy|.3已知平面上两点A(x，x)，B，则|AB|的最小值为()A3 B C2 D答案D解析|AB|(当且仅当x时等号成立)，|AB|min.4已知菱形的三个顶点分别为(a，b)，(b，a)，(0,0)，则它的第四个顶点是()A(2a，b) B(ab，ab)C(ab，ba) D(ab，ba)答案B解析令A(a，b)，B(b，a)，C(0,0)，因为三条线段AB，AC，BC中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边
12、长度相等)及|AC|BC|，得AB为对角线设D(x0，y0)，由中点坐标公式，得解得5(多选)已知A(1,2)，B(3，b)两点间的距离为4，则b的值可以是()A3 B2 C5 D6答案BD解析|AB|4，解得b6或2.二、填空题6已知两点P(1，4)，A(3,2)，则点A关于点P的对称点的坐标为_.答案(1，10)解析设对称点为A(x，y)，则P为线段AA的中点，即解得7若点A(x,5)关于点C(2，3)的对称点是点B(1，y)，则点P(x，y)到原点的距离是_.答案解析由中点坐标公式，得解得则P(5，11)设原点为O，所以|PO|.8已知M(x，xa)，A(2,0)若a0，则|MA|的最小
13、值为_；若|MA|2|MO|(O为坐标原点)，则实数a的取值范围为_.答案解析由a0，得M(x，x)，A(2,0)，|MA|(当且仅当x1时等号成立)，故|MA|的最小值为.由|MA|2|MO|，得(x2)2(xa)24x24(xa)2，整理，得6x2(6a4)x3a240.由0得9a212a280，解得a，故a的取值范围为.三、解答题9已知四边形ABCD的顶点A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求|CE|，|DE|，|AF|，|DF|.解设线段AB的中点E的坐标为(x，y)，则x1，y4，则|CE|5，|DE|2，设线段BC的中点F的坐标为
14、(m，n)，则m4，n4，则|AF|，|DF|.10如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.证明如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.B级：“四能”提升训练1已知函数f(x)，求f(x)的最小值解f(x)，它表示点P(x,0)到点A(1,1)的距离与点P(x，0)到点B(2,2)的距离之和，问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使它与点A(1,1)，B(2,2)的距离之和最小如图，作点A(1
15、,1)关于x轴的对称点A，则A的坐标为(1，1)，连接AB，则AB与x轴的交点即点P，f(x)的最小值为点A与点B的距离，即.2在ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|.求证：ABC为等腰三角形证明如图，作AOBC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d，0)(bdc)因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以由距离公式可得b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)又db0，故bdcd，即bc.所以|AB|AC|，即ABC为等腰三角形