1、第一章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若平面，的法向量分别为u(2，3,5)，v(3,1，4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确答案C解析因为，且uv0，所以，相交但不垂直2已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，点F是侧面CC1D1D的中心，且mn，则m，n的值分别为()A.， B，C， D，答案A解析由题意知，()，所以m，n.3一束光线自点P(1,1,1)发出，被yOz平面反射后到达点Q(6,3,3)被吸收，则光线所走的路程是()A. B C D3答案C解析因为点
2、Q(6,3,3)关于yOz平面的对称点为Q(6,3,3)，所以光线所走的路程为|PQ|.故选C.4已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 Ba2C.a2 Da2答案C解析如右图，()，()(a2cos60a2cos60)a2.5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，且A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交 B平行C垂直 D不能确定答案B解析设a，b，c.由题意，知A1BACa.又A1MANa，(ab)，(bc)，则a(bc)(ab)ac，因此，与，共面，MN平面A
3、A1D1D，从而MN平面BB1C1C.6如右图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60C90 D120答案B解析令a，b，c，则|a|b|c|.bc，(ca)，再令|a|2.则|2，|.又(bc)(ca)(bcba|c|2ca)(0040)2，cos，EF与BC1所成的角为60.7如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点，则直线EF和平面ABCD所成角的正切值为()A. B C D2答案B解析如图所示，以D为坐标原点，的方向分别为x轴、
4、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点A1(1，0,1)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，F，E，(0,0,1)为底面的一个法向量，cos，.设直线EF和平面ABCD所成的角为，则sin，tan.故选B.8如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为6，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为()A. B C D答案B解析由题意知，当E，F分别为AB，BC的中点时，A1，E，F，C1四点共面以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如
5、图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(6，0,6)，C1(0,6,6)，E(6，3,0)，F(3,6,0)，(6,3,0)，(6,0,6)，(3,6,0)，(0,6,6)设平面A1DE的一个法向量为n1(a，b，c)，依题意，得令a1，则c1，b2，所以n1(1,2,1)为平面A1DE的一个法向量同理得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)所以平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为|cosn1，n2|.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9在以下命题中，不正确的为()A|
6、a|b|ab|是a，b共线的充要条件B若ab，则存在唯一的实数，使abC对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面D|(ab)c|a|b|c|答案ABCD解析A错误，应为充分不必要条件；B错误，应强调b0；C错误，2211；D错误，根据数量积公式可知10在四面体PABC中，下列说法正确的有()A若，则3B若Q为ABC的重心，则C若0，0，则0D若四面体PABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|1答案ABC解析对于A，32，22，2，3，即3，故A正确；对于B，若Q为ABC的重心，则0，33，3，即，故B正确；对于C，若0，0，则0，()0，0，0，
7、()0，0，0，()0，0，故C正确；对于D，()()，|，|2，|M|，故D错误故选ABC.11如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是()A(AA)22A2B.(AA)0C向量与的夹角是60DBD1与AC所成角的余弦值为答案AB解析以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60，可设棱长为1，则11cos60，(AA)2222222111326，而222()22(222)2236，所以A正确；()()()2AAA20，所以B正确；向量，显然AA1D为等边三角形，则AA1D60.所以
8、向量与的夹角是120，向量与的夹角是120，则C不正确；又，则|，|，()()1，所以cos，所以D不正确故选AB.12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内下列结论正确的是()A直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为B|的最大值为2CcosA1D1P的取值范围为D若D1PCM，则PBC的面积的最小值为答案ABCD解析如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,2,0)，M(0,0,1)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D1(0,2,2)对于A，(2，2,1)，
9、(0,0,2)，易知是平面ABCD的法向量，设直线CM与平面ABCD所成的角为，则sin|cos，|，cos，A正确；对于B，点P在侧面ABB1A1内，设P(a,0，b)，a，b0,2，则(a，2，b2)，|2,2，即|的最大值为2，B正确；对于C，cosA1D1P，C正确；对于D，(2，2，1)，(2a,0，b)，D1PCM，2a4b20，即b2a2，a1,2BC平面ABB1A1，BCPB，SPBCBCPB2PB.将b2a2代入，可得SPBC，a1，2，当a时，SPBC取得最小值，最小值为，D正确故选ABCD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13在空间直
10、角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是_.答案(0，1,0)解析因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)由|MA|MB|，得(01)2(y0)2(02)2(01)2(y3)2(01)2，整理得6y60，解得y1，即点M的坐标为(0，1,0)14已知三棱锥SABC的三条侧棱长都等于a，且两两垂直，则二面角SBCA的正切值为_.答案解析取BC的中点D，连接SD，AD，易证SDA为SBCA的平面角，在RtSDA中有tanSDA.15给出下列命题：若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；若ab0，则a，
11、b是钝角；若a为直线l的方向向量，则a(R)也是l的方向向量；非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面其中不正确的命题为_(填序号)答案解析错误，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，但线段AB与A1B1不重合；错误，ab0，即cosa，b0a，b，而钝角的取值范围是；错误，当0时，a0不能作为直线l的方向向量；错误，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，令a，b，c，则它们两两共面，但显然，是不共面的16已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_，截面AB1D1与底面ABCD的夹角的余弦值为
12、_.答案解析如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2，0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则即解得x2z且y2z，不妨设n(2，2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d.由题意知，底面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)，设截面AB1D1与底面ABCD的夹角为，则|cos|.四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab以及a与b所成角的余
13、弦值，并确定，应满足的条件，使ab与z轴垂直解2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(5,13，28)ab(3,5，4)(2,1,8)653221.|a|5，|b|，cosa，b.ab与z轴垂直，(32，5，48)(0,0,1)480，即2，当，满足2时，可使ab与z轴垂直18(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解(1)证明：，.BB1平面ABC，0，0
14、.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)结合(1)知|cos，221.又| |，cos，|2，即侧棱长为2.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F.证明：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明如图所示，以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设DCa.(1)连接AC，交BD于点G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，E.底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心故点G的坐标为，且P(a,0，a)，E，P2
15、，则PAEG.又EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，P(a，a，a)，D，故PD00.PBDE，又EFPB，且EFDEE，PB平面EFD.20(本小题满分12分)在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC14CP.(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的正弦值；(2)求点P到平面ABD1的距离解(1)如图所示，以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，棱长为4，A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，P(0,4,1)，(4,4,1)，显然(0,4,
16、0)为平面BCC1B1的一个法向量，直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值sin|cos，|.(2)设平面ABD1的一个法向量为n(x，y,1)，(0,4,0)，(4,0,4)，由n，n，得n(1,0,1)，点P到平面ABD1的距离d.21(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO.解如图所示，以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则O，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
17、设Q(0,1，z)，则，(1，1,1)，OPBD1.，(1,0，z)，当z时，即APBQ，又APOPP，BQBD1B，则有平面PAO平面D1BQ，当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.22(本小题满分12分)正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF. (2)以点D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，0,2)平面CDF的一个法向量为(0,0,2)，设平面EDF的一个法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，则t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE.此时，.