1、专题限时集训(十六) 基础演练夯知识1已知椭圆1的左焦点为F1，右顶点为A，上顶点为B，若F1BA90，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.2已知抛物线yax2(a0)的焦点到准线的距离为2，则a()A4 B2 C. D.3若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的方程为yx，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D24已知圆C：(x1)2(y1)22经过椭圆：1(ab0)的右焦点F和上顶点，则椭圆的离心率为_5椭圆C：1(ab0)的右焦点为(2，0)，且点(2，3)在椭圆上，则椭圆的短轴长为_ 提升训练强能力6已知集合M，N(x，y)|yk(xb)，若存在kR，使得MN成立，则
2、实数b的取值范围是()A3，3 B(，3)(3，)C2，2 D(，2)(2，)7已知M为抛物线y28x上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，MFO120，N(2，0)，则直线MN的斜率为()A B C D8已知直线y2 (x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，点M(1，m)，若0，则m()A. B. C. D09已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线PA，PB，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1k2，则k3k4()A. B C D410设抛物线C：x24y的焦
3、点为F，经过点P(1，5)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|BF|()A12 B8C4 D1011设点P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率为_12已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若3，则|QF|_13已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则_14已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右顶点A是抛物线y28x的焦点，直线
4、l：yk(x1)与椭圆C相交于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)如果，点M关于直线l对称的点N在y轴上，求k的值15椭圆1(ab0)在第一象限的部分与过点A(2，0)，B(0，1)的直线相切于点T，且椭圆的离心率e.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，AF2的中点为M，求证：ATMAF1T.16已知抛物线C的方程为y24x，O是坐标原点，A，B为抛物线上异于O的两点，且0.(1)证明：直线AB过定点，并求出该定点的坐标；(2)求线段AB的中点到直线yx的距离的最小值专题限时集训(十六) 基础演练1A解析 根据已知得1，即b2ac，由此得c2aca20，即10，即e
5、2e10，解得e(舍去负值)2C解析 抛物线的标准方程为x22y，2，解得a.3D解析 设双曲线的方程为1(a0，b0)，则双曲线的渐近线方程为yx.根据已知可得，则e2.4.解析 设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，短半轴长为b，则(c1)212，解得c2(舍去c0)又1(b1)22，解得b2(舍去b0)，所以a2 ，所以e.54 解析 由题知1，a2b24，所以4b29(b24)(b24)b2，即b49b2360，所以b212，即b2 ，故椭圆的短轴长为4 . 提升训练6B解析 只要点(b，0)在椭圆外部即可，即b3，故b的取值范围是(，3)(3，)7C解析 易知F(2，0)，设|MF|t(
6、t0)，可得M(2t，t)，点M在抛物线y28x上，所以8(2t)，即3t216t640，解得t8(舍去负值)，所以M(6，4 )，所以直线MN的斜率为.8B解析 直线方程化为xy1，与抛物线方程联立得y2y40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y24，所以x1x2(y1y2)2，x1x2y1y2(y1y2)11，所以(x11，y1m)(x21，y2m)x1x2(x1x2)1y1y2m(y1y2)m2114mm20，即m2m0，解得m.(或者直接通过解方程组求出A(2，2 )，B(，)，再根据0得方程求之)9C解析 线段OB的中垂线方程为x，与椭圆方程联立可得P(a，b)
7、k1k2，即a2b，所以cb，所以k3k4.10A解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y210.根据抛物线定义，|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|y1y2212.11.解析 由题意知|PF1|4a，|PF2|2a.根据圆的有关知识可得|F1F2|2 a2c，e.12.解析 易知F(2，0)，准线l：x2.设P(2，t)，Q(x，y)，由3，得(4，t)3(2x，y)，所以解得代入抛物线方程得，解得t248，所以|QF|PF| .134解析 设椭圆方程为1(ab0)，双曲线的方程为1(m0，n0)，F1，F2为左、右焦点，半焦距为c.不妨设点P在第一象限，则|PF1
8、|PF2|2a，|PF1|PF2|2m，解得|PF1|am，|PF2|am.在F1PF2中，由余弦定理得，4c2(am)2(am)22(am)(am)cos，即4c2a23m2.4.14解：(1)因为抛物线的方程为y28x，所以焦点坐标为(2，0)，即A(2，0)，所以a2.又因为e，所以c，所以b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为A(2，0)，所以(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x1x24，y1y2)，所以M(x1x22，y1y2)由消去y得(4k21)x28k2x4k240(判别式0)，则x1x222，y1y2k(x1x22)
9、，即M(，)设N(0，y3)，则MN的中点坐标为(，)因为点M，N关于直线l对称，所以线段MN的中点在直线l上，所以k(1)，解得y32k，即N(0，2k)由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以k1，解得k.15解：(1)e，a24b2，故椭圆方程为1.椭圆的切线AB的方程为y1.将直线AB的方程代入椭圆的方程，消去x并整理得2y22y1b20，则48(1b2)0，解得b2，故所求椭圆的方程为2y21.(2)证明：解方程组得T.又F1，F2，A，M，设m，则cosATM，cosAF1T，cosATMcosAF1T，又AF1T(0，)，ATM(0，)，ATMAF1T.16
10、解：方法一：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B异于点O，故y1y20.由x1x2y1y2()2y1y20，得y1y216.当x1x2时，直线AB的斜率为，直线AB的方程为yy1(x)，即yx，即y(x)，即y(x4)，所以直线AB过定点(4，0)；当x1x2时，直线AB的方程为x4，也经过定点(4，0)(2)由(1)知线段AB的中点为(，)，即(，)，该点到直线yx的距离d，当且仅当y1y24时等号成立，结合y1y216可知，y1，y2是方程t24t160的根，该方程显然有两个不相等的实根，故上述最小值可以取到，所以线段AB的中点到直线yx的距离的最小值为.方法二：(1)易知直线OA，OB的斜率均存在，不妨设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，直线OA：ykx，代入抛物线方程得A(，)，以代替k得B(4k2，4k)当k1时，直线AB的斜率为，此时直线AB的方程为y4k(x4k2)，即yx4k2，即y(x4)，所以直线AB恒过定点(4，0)；当k1时，此时A(4，4)，B(4，4)或者A(4，4)，B(4，4)，直线AB的方程为x4，也过定点(4，0)(2)由(1)知线段AB的中点为(2k2，2k)，该点到直线yx的距离d，当且仅当k10，即k2k10时等号成立，显然该方程有实根，故上述最小值可以取到，所以线段AB的中点到直线yx的距离的最小值为.