1、第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考情展望1.利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简与求值.2.利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值.3.与三角函数yAsin(x)的图象和性质相结合，考查学生的综合能力一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1六个公式：sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2公式T()的变形：tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1三个公式：sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22co
2、s2112sin2；tan 2.2公式S2、C2的变形：sin cos sin 2；sin2(1cos 2)；cos2(1cos 2)1sin 34sin 26cos 34cos 26的值是()A. B. C D【解析】sin 34sin 26cos 34cos 26(cos 34cos 26sin 34sin 26)cos 60.【答案】C2下列各式中，值为的是()A2sin 15cos 15 Bcos215sin215C2sin2151 Dsin215cos215【解析】2sin 15cos 15sin 30，cos215sin215cos 30，2sin2151cos 30，sin215
3、cos2151.故选B.【答案】B3已知tan()3，tan()5，则tan 2()A. B C. D【解析】tan 2tan()().【答案】D4若cos ，是第三象限角，则sin()A B. C D.【解析】由题意知sin ，sinsin cos cos sin .【答案】A5(2013江西高考)若sin ，则cos ()A B C. D.【解析】cos 12sin21221.【答案】C6(2013四川高考)设sin 2sin ，则tan 2的值是_【解析】由sin 22sin cos 及sin 2sin ，解出，进而求得tan 2的值sin 2sin ，2sin cos sin .，si
4、n 0，cos .又，tan 2tan tantan .【答案】考向一 060三角函数的给值求值(1)(2014郑州模拟)若0，0，cos，cos，则cos()A.BC.D(2)(2013广东高考)已知函数f(x)cos，xR.求f的值；若cos ，求f.【思路点拨】(2)把x代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f.由cos 求出sin ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f.【尝试解答】(1)0，所以由cos，得sin，又0，且cos，则，sin，故coscoscoscossinsin.【答案】C(2)因为f(x)cos，所以fcoscoscos 1.因为，cos ，所以sin
5、 ，cos 22cos21221，sin 22sin cos 2.所以fcoscoscos 2sin 2.规律方法1给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示.,(1)当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.(2)当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角.(3)注意根据角的象限确定三角函数值的符号.对点训练(1)(2012江苏高考)设为锐角，若cos，则sin的值为_(2)已知cossin ，则sin_.【解析】(1)为锐角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.(2)coss
6、in cos cos sin sin sin cos sin sin.sin，sinsinsin.【答案】(1)(2)考向二 061三角函数的给值求角已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值【思路点拨】(1)tantan sin .(2)cos()sin()sin 【尝试解答】(1)由tan ，得tan ，cos sin ，又sin2cos21，由、联立，得25sin216，0，sin .(2)由(1)知，cos ，sin ，又0，0.由cos()，得0.sin()，sin sin()sin()cos cos()sin .由得.规律方法21.第(2)问中，由sin 易错
7、误得出，这些错误的原因都是忽视了角的范围.2.“给值求角”的求解思路：(1)求角的某一三角函数值，(2)讨论角的范围，确定角的大小.其中求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为(，选正弦较好.对点训练已知cos ，cos()，且0，试求角的值【解】由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin()，由()，得cos cos()cos cos()sin sin().又0，所以.考向三 062三角函数式的化简化简：(1)sin 50(1tan 10)；(2)(0)【思路点拨】(1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；(2)统一为的三
8、角函数，变形化简【尝试解答】(1)sin 50sin 501.(2)由(0，)，得0，cos 0.因此 2cos .又(1sin cos )2cos 2cos cos .故原式cos .规律方法31.本例(2)中有开方运算，联想二倍角公式的特征进行升幂，化为完全平方式.2.三角函数式的化简要遵循“三看”原则,(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，帮助我们找到变形的方向.对点训练化简：.【解】原式cos 2x.规范解答之五三角
9、函数中给值求值问题的解题策略1个示范例1个规范练(12分)(2012广东高考)已知函数f(x)Acos，xR，且f.(1)求A的值；(2)设，f，f，求cos()的值【规范解答】(1)由f得Acos，2分即Acos ，A2.4分(2)由(1)知f(x)2cos.由得6分解得8分，cos ，sin .10分cos()cos cos sin sin .12分【名师寄语】(1)在利用诱导公式时，先判断角的范围，确定三角函数值的符号，再写出结果.(2)对于两角和与差的余弦公式，应特别注意符号的差别，防止出错.(2014三明模拟)已知0，为f(x)cos的最小正周期，a，b(cos ，2)，且abm，求的值【解】因为为f(x)cos的最小正周期，所以.又abcos tan2m，故cos tanm2.由于0，所以2cos 2cos tan2(2m)