1、空间的角：线线角、线面角、面面角。空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,与 的关系？CD AB思考：,与 的关系？DC AB结论：|cos,|a b|一、线线角：ab ，ab，设直线的方向向量为，的方向向量为CAaBbDaabb所以 与 所成角的余弦值为 A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,1),(,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111(,1)22BD
2、11cos,AF BD1111|AFBDAFBD113041053421BD1AF3010例一：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、，ABACDF练习：在长方体中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM1(0,8,4),A D10AMA D1.ADAM（2）求与平面
3、所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M简解：2n BA，直线与平面所成角的范围：0,2 ABO,设平面 的法向量为，则与 的关系？nn BA思考：结论：sin|cos,|n AB二、线面角：nnBAAB2n BA，例二：在长方体中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA1112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8,4),A D（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD
4、A D2 55与平面所成角的正弦值是ADANM2 55简解：1111(1)由知，又，所以平面所以是平面的法向量。A DAMA DANAMANAA DAMNA DAMN所以练习：1111ABCDABC D 的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A，1(1 01)B，(110)C，设正方体棱长为1，1AB AD AA，为单以1(101)(110)ABAC，1(111)C，11(010)B C 则，1()AB Cnxyz设为，平面的法向量100n ABn AC则，0=10=-1xzxyn=(1-1-1)，xyz所以取得故位正交基底，可得110
5、1 03cos313n B C ，1113所以与面所成的角的正弦值为。3B CAB Cl将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中l,ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CDDCBA三、面面角：方向向量法：二面角的范围：0,例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaAC，化为向量问题根据向量的加法法则有DBCDACA
6、B222)(DBCDACABd2222()ACCDBDAC CDAC DBCD DBDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB因此.cos22222dcbaabABCD所以.2cos2222abdcba所以库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcball三、面面角：二面角的范围：0,法向量法1n1n2n2n12n n，12n n，12n n，12n n，cos12cos,n ncos12cos,n n注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,1,1,
7、2.AABCD SAABBCADSCDSBA0如所示，A BC D 是一直角梯形，A BC=90S平面求面与面所成二面例：角的余弦值四ABCDSxzyA-xyz解：建立空直角坐系如所示,A(0,0,0),C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量11(1,0),(0,1)22CDSD2(,),SCDnx y z的法向量22,nCD nSD由得：设平面0202 yxyz22 yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3|nnn nnn63即所求二面角得余弦值是用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联
8、系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）点拨：1、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 n1=（1，0，1），n2=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_.2、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_.3.三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_.090BAC66课堂练习小结：1.异面直线所成角：cos|cos,|a b2.直线与平面所成角：sincos,n AB|ABCD1DABOnabanlcoscos,AB CDAB CDAB CDDCBA3.二面角：ll1n1n2n2n一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。cos 12cos,n ncos 12cos,n n