1、第2课时 函数的最大值、最小值 1.理解函数的最大值、最小值的概念.2.会根据函数的单调性求函数的最大值和最小值.3.掌握函数的最值在实际中的应用.函数的最大值和最小值 最大值最小值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对任意xI,都有f(x)_M;(2)存在x0I,使得f(x0)_M(1)对任意xI,都有f(x)_M;(2)存在x0I,使得 f(x0)_M结论_是函数y=f(x)的最大值_是函数y=f(x)的最小值=M M 1.函数f(x)=x2-4x+3,x1,4,则f(x)的最大值为()A.-1 B.0 C.3 D.-2【解析】选C.因为f(x)在1,2上是减函
2、数,在2,4上是增函数,又f(1)=0,f(4)=3.所以f(x)的最大值是3.2.若函数y=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差是2,则a=()A.2 B.-2 C.2或-2 D.0【解析】选C.由题意知a0,当a0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上可知a=2.3.函数f(x)在-2,2上的图象如图所示,则函 数的最小值为 ;最大值为 .【解析】观察图象,由图知最低点的纵坐标为-1,最高点的纵坐标为2.答案:-1 2 4.函数f(x)=,x2,4，则f(x)的最大值为_；最 小值为_.【解析】由函数f(x)=(x2,
3、4)的图象可知，函数f(x)在区间2,4上是减函数，所以最大值为f(2)=1，最小值为 f(4)=.答案：1 2x2x1212函数的最大(小)值 探究1:请根据函数最大(小)值的定义探究下面的问题:(1)定义中的M应满足什么条件?提示:M是一个函数值,即存在一个元素x0,使M=f(x0).(2)该定义中若只满足第一条,M是不是函数的最大(小)值?提示:M不一定是最大(小)值,如函数f(x)=-x2(xR),对任意xR,都有f(x)1,但1不是函数的最大值,因为不存在x0R,使f(x0)=1.探究2:根据提示完成下面的问题,明确函数的单调性与最值的关系:(1)若函数f(x)在区间a,b上是单调递
4、增的,则函数f(x)的最大值是 ;最小值是 .(2)若函数f(x)在区间a,b)上是单调递减的,在区间b,c上是单调递增的,则函数f(x)在区间a,c上的最小值是 ;最大值是 .提示:(1)f(b)f(a)(2)f(b)f(a)或f(c)【探究总结】对函数最大值、最小值的四点说明(1)最值中M一定是一个函数值,是值域中的一个元素.(2)最值定义中的两条缺一不可,必须同时满足时,M才是函数的最值.(3)求函数的最值一般是先判断函数的单调 性,然后再求最值.(4)几何意义:如图函数图象最高点的纵坐 标y2即为函数的最大值,函数图象的最低点 的纵坐标y1即为函数的最小值.类型 一 求函数的最大、最小
5、值 1.(2013黄冈高一检测)如图为函数y=f(x),x-4,5的图象,则它的最大值为 ;最小值为 .2.(2014衡水高一检测)已知函数f(x)=,x3,5.(1)用定义证明函数f(x)在3,5上的单调性.(2)求函数f(x)=,x3,5的最大值和最小值.x 12xx 12x【解题指南】1.根据图象找出最高点和最低点,则最高点对应的y值即为最大值,最低点对应的y值为最小值.2.先在定义域内讨论函数的单调性,再根据单调性讨论最值.【自主解答】1.观察图象知,图象的最高点是(2,3)最低点是(-2,-1),所以函数y=f(x)在x=2处取得最大值3,在x=-2处取得最小值-1.答案:3-1 2
6、.(1)f(x)在3,5上是单调增函数.设x1,x2是区间3,5上的两个任意实数且x1x2,f(x1)-f(x2)=因为3x1x25,所以x1-x20,2-x10,2-x20,所以f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),所以f(x)在3,5上是单调增函数.(2)因为f(x)在3,5上是单调增函数,所以x=3时,f(x)取最小值-4,x=5时,f(x)取最大值-2.121212123 xxx1x1,2x2x2x2x【规律总结】求函数最值的三种方法(1)观察法:对于简单的初等函数,如一次函数、二次函数、反比例函数,可以依据定义域求出值域,观察得出.(2)图象法:对于图象较容易画出的函数的最
7、值问题,可借助于图象直观求出.(3)单调性法:对于较复杂的函数,可利用单调性的判断方法,判断出函数的单调性,然后求最值.提醒:利用单调性求最值时,一定要先确定函数的定义域.【变式训练】求函数f(x)=的最小值.【解析】方法一：f(x)有意义，则满足 则f(x)的定义域为 ,+),任取x1，x2 ,+)且x1x2，则f(x1)-f(x2)12x32x5 2x30,3x.2x502 得，3232所以f(x1)f(x2),所以f(x)是增函数，则f(x)的最小值为 1212122112122112122112112x32x32x52x5112x32x32x52x52 xx2 xx2x5(2x5)2x
8、32x3112 xx0,2x5 2x52x32x3 （）（）31f.22（）方法二：f(x)有意义，则满足 则f(x)的定义域为 ,+).由于y=2x+3是递增的，所以y=也是递增的；而y=2x+5在 定义域内是递增的，从而 也是递增的，故函数f(x)在 定义域 ,+)上是递增的，所以当x=时，函数f(x)取得 最小值f(x)min=2x30,3x.2x502 得，322x31y2x532321.2类型 二 二次函数的最大值、最小值 1.(2014菏泽高一检测)函数y=-x2+6x+9在区间a,b(ab3)上有最大值9,最小值-7,则a=,b=.2.(2013九江高一检测)已知二次函数f(x)
9、满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在-1,1上的最大值和最小值.【解题指南】1.对函数y=-x2+6x+9配方,利用在区间a,b上的单调性,表示出最值,求出a,b的值.2.(1)设出解析式,根据条件建立方程组求解.(2)对函数解析式配方,根据函数在-1,1上的单调性求解.【自主解答】1.y=-(x-3)2+18,因ab3,所以f(x)在区间a,b上单调递增,即-b2+6b+9=9,得b=0,-a2+6a+9=-7,得a=-2.答案:-2 0 2.(1)由f(0)=1,设f(x)=ax2+bx+1(a0),则f(x+1)-f(x)=a
10、(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2ax+a+b,而f(x+1)-f(x)=2x,所以2ax+a+b=2x,所以f(x)=x2-x+1.2a2,a1,ab0b1,得解得，2minmax1312 f xx1)2421,1213f xf()f xf13.24（）在，上递减，在上递增，所以，【延伸探究】题2(2)改为求f(x)在0,m(m0)上的最小值.【解题指南】注意分对称轴 在区间0,m内、外两种情况讨论.1x2【解析】当m 时，对称轴x=0,m，此时函数f(x)的最小值为f()=当m 时，f(x)在区间0,m上单调递减，此时函数f(x)的最小值为f(m)=m2-m+1.综上可知,当m
11、时f(x)min=当m 时,f(x)min=f(m)=m2-m+1.12121234；12121234；【规律总结】求二次函数在指定区间上最值的方法及三点注意(1)常用方法：利用二次函数的单调性结合对称轴与区间的位 置关系.分三种情况：对称轴在区间左侧;对称轴在区间内；对称轴在区间右侧.(2)求二次函数最值的三点注意：注意开口方向，即a与0的关系；注意对称轴，的位置；注意所给定的区间，即对称轴与区间的关系.bx2a【拓展延伸】二次函数解析式的三种形式 在解决与二次函数有关的问题时,需要知道函数的解析式,常用的三种形式如下:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a0).(2)顶点式:y=a(x-h
12、)2+k(a0),其中顶点坐标为(h,k).(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)(其中x1,x2为函数的图象与x轴交点的横坐标).【变式训练】设函数f(x)=x2+2ax-a-1,x0,2,a为常数.求f(x)的最小值g(a)的解析式.【解析】由题意,函数f(x)=x2+2ax-a-1图象是开口向上,对称轴为x=-a的抛物线,当-a0,即a0时,f(x)在0,2上是增函数,x=0时有最小值f(0)=-a-1;当-a2,即a-2时,f(x)在0,2上是减函数,x=2时有最小值f(2)=3a+3.当0-a2,即-2a0时,f(x)在0,2上是不单调的,x=-a时有最小值f(-a)=
13、-a2-a-1,2a 1,a0,g aaa 1,2a 0,3a3,a2.所以 类型 三 函数最值的应用 1.某市一家报刊摊点,从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不出的报纸以每份0.05元的价格退回报社.一个月按30天算,其中有18天每天可以卖出400份,12天每天只能卖出180份,摊主每天从报社买进 份,才能使每月获得最大的利润.2.(2013台州高一检测)首届世界低碳经济大会在南昌召开,大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门 的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一 种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为40
14、0吨.最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关 系可近似地表示为y=x2-200 x+80000,且每处理一吨二氧化碳 得到可利用的化工产品价值为100元.12(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?【解题指南】1.解答本题可先建立买进报纸的份数x与每月利润y之间的函数解析式,然后转化为函数最值问题即可求解.2.(1)先由条件表示出二氧化碳每吨平均处理成本,然后利用单调性求最值.(2)由收入减去成本,表示出每月的获利函数,在指定范围内求最值.
15、【自主解答】1.设每天从报社买进x(180 x400,xN)份报纸,所以每月获利y=0.20(18x+12180)-0.3512(x-180)=-0.6x+1188(180 x400,xN),函数y=-0.6x+1188在区间180,400上是减函数,当x=180时函数取得最大值,即摊主每天从报社买进180份,才能使每月获得最大的利润.答案:180 2.(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为 令 可以证明t(x)在(0,400)为减函数，在400,+)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.y180 000t xx200,x2x(2)设该
16、单位每月获利为S，则 S=100 x-y=100 x-(x2-200 x+80 000)=-x2+300 x-80 000=-(x-300)2-35 000.因为400 x600,所以当x=400时，S有最大值-40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.121212【规律总结】解实际应用问题的五个步骤【变式训练】(2014合肥高一检测)某超市中秋前30天月饼销售总量f(t)与 时间t(0t30,tZ)的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超 市前t天平均售出(如前10天的平均售出为 )的月饼最少 为 .f 1010【解析】记g(t)=函数g(t)在
17、区间(0,)上单调递减，在区间(,30上单调递增，考虑到tZ且 g(3)=g(4)=17得g(t)最小值为17.答案：17 f t12t10,tt 2 32 3【拓展类型】与最值有关的恒成立问题 1.已知函数f(x)=若f(x)a恒成立，则实数a的 取值范围是_.2.(2013天津高一检测)已知函数f(x)=x1,+).(1)当a=时，求函数f(x)的最小值.(2)若对任意x1,+),f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.2x3 x2,11 x 23 2xx1，2x2xa,x12【解题指南】1.化为函数的最值问题，可画出函数的图象，根据图象求解.2.(1)化简函数，利用单调性的定义，先判断单调
18、性，再求最值.(2)将x1,+),f(x)0恒成立问题转化为函数最小值恒大于0的问题.【解析】1.由f(x)画出图象如图所示：要使f(x)a恒成立，必须f(x)mina,由图可知f(x)min=1,所以a1.答案：(-,1 2x3 x2,11 x 2,3 2xx1,，2.(1)当a=时,f(x)=x+2,任取x1,x21,+)且x1x2,f(x1)-f(x2)=x1+2=(x1-x2)因为1x1x2,所以x1-x21.所以f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)0恒成立,所以x2+2x+a0恒成立.当x=1时,(x2+2x+a)min=3+a,所以3+a0,a-3.2x2xax【规律总结】恒成立问题的两种求解方法 方法一:构造常见的函数模型,将参数分离,然后根据函数的性质,转化为函数的最大、最小值问题求解.方法二:当函数的解析式较简单时,可以画出函数的图象,结合图象求最值.
