1、天津市静海区第六中学2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题（含解析）说明：本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟.注意：答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在试卷左边的密封线内.祝考生考试顺利！第卷（选择题共40分）一、选择题1. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线的平行关系，设直线方程，代入求解即可.【详解】设与直线平行的直线方程：，过点，所以，解得：所以直线方程为：.故选：A2. 圆与圆交于AB两点，则过AB两点的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
2、分析】将两圆的方程相减即可得到公共弦所在的直线方程.【详解】圆，一般方程为：，圆，得：，即.故选：A3. 圆和的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】C【解析】【分析】求出两圆圆心距，以及两圆半径，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，所以，因此，圆和相交.故选：C.【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和.（1）若，则圆与圆内含；（2）若，则圆与圆内切；（3）若，则圆与圆相交；（4）若，则圆与圆外切；（5）若，则圆与圆外离.4. 若点到直线的距离是，则实数为（ ）A. B
3、. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】利用点到直线距离公式构造方程即可求得结果.【详解】由点到直线的距离公式可得：，解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，属于基础题.5. 过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题6. 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可判断
4、，平方得出，再利用余弦定理求解即可【详解】 是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点， ， ， ， ，在中， ，故选 【点睛】本题考查了椭圆的定义，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解是运算的技巧，属于中档题7. 已知曲线，则以为中点的弦所在直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设直线l与椭圆交于，将交点坐标代入椭圆方程，利用点差法作差后，将中点坐标代入即可求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可【详解】设直线l与椭圆交于，因为为AB中点，则，则：， -得：，即，的方程：，即故选：A【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题8
5、. 在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.9. .已知点是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的方程（
6、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用代入法，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为、是椭圆两个焦点，所以不妨设为左焦点坐标为、为右焦点坐标为.因，所以有，因此，又因为点是椭圆上一点，所以，由解得：，所以椭圆的方程为：，故选：D第卷（非选择题共110分）二、填空题10. 已知直线和圆相交于两点若，则的值为_【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得故答案为：【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属
7、于基础题11. 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为，离心率为，则椭圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】由已知可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可得出椭圆的方程.【详解】由题意可得，解得，因此，该椭圆的方程为.故答案为：.12. 设直线和圆相交于点、，则弦的垂直平分线方程是_【答案】【解析】【分析】【详解】由得，所以圆的圆心为，根据圆的相关性质，可知所求的直线过圆心，由直线垂直可得所求直线的斜率为，根据直线的点斜式方程化简可得结果为13. 过点A与圆相切的直线方程是 【答案】【解析】【分析】首先确定点与圆的位置关系，然后求解切线方程即可.【详解】由题意易知点A在圆上，圆的圆心坐
8、标为，且，由直线垂直的充分必要条件可得切线斜率为，切线方程为：，整理为一般式即：.【点睛】本题主要考查圆的切线方程的求解，点与圆的位置关系，直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 平面的法向量是，点在平面内，则点到平面的距离为_.【答案】【解析】【分析】先求得，利用点到平面的距离公式，求解即可.【详解】由题意知：，则,设点P到平面的距离为d，则，故答案为：15. 椭圆的离心率为，则的值为_【答案】【解析】【分析】将焦点分为在 轴上两种情况，利用椭圆的离心率列方程，由此求得的值.【详解】椭圆的离心率满足.当椭圆焦点在轴上时，解得.当椭圆焦点在轴上时，解得.故填
9、.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题.三、解答题16. 根据下列条件求解.（1）过点且与圆相切的直线方程；（2）在平面直角坐标系中，经过三点、的圆的方程，并求圆心坐标和半径.【答案】（1）或；（2）圆的方程为，圆心为，半径为.【解析】【分析】（1）对切线斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到切线的距离等于圆的半径可求得所求切线的方程；（2）设所求圆的一般方程为，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径.【详解】（1）若切线斜率不存在，则切线的方程为，此时，圆心到直线的
10、距离为，即直线与圆相切；若切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，切线方程为，即.综上所述，所求切线方程为或；（2）设所求圆的一般方程为，由题意可得，解得，所以，所求圆的方程为，该圆的标准方程为，圆心为，半径为.【点睛】方法点睛：求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程注意：斜率不存在的情形17. 在平行六面体中，分别为，的中点.（1）构成空间的一个基底，用它们表示，设，.（2）求与的夹角.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）运用空间向量的加减法可表示，代入可得答案；（2）根据（1）的结论，利用空间向量的数量积运算求得，由空间向量垂直
11、的条件可得答案.【详解】（1）因为，所以，；（2）因为，所以，所以与的夹角为.18. 椭圆的两个焦点坐标分别为，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于4，设过椭圆右焦点交椭圆于，且的倾斜角为.（1）求椭圆方程；（2）求的弦长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）借助椭圆上一点到两焦点的距离之和等于4，可得，借助两个焦点坐标，可得，进而可以写出椭圆方程（2）通过的倾斜角和过椭圆右焦点得到其方程，联立借助韦达定理即可求出弦长【详解】（1）因为椭圆上一点到两焦点的距离之和等于4，所以，即因为两个焦点坐标分别为，所以所以，所以椭圆方程为（2）因为的倾斜角为，所以因为过椭圆右焦点，所以设，联立得：，由
12、韦达定理，有，所以的弦长为【点睛】本题考查椭圆的定义、弦长公式等，难度不大，不失为一道好题19. 如图，平面，为的中点，. （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）设为棱上一点，试确定的值使得二面角为.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，证明出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）求出的坐标，利用空间向量法可得出关于实数的方程，结合可求得实数的值.【详解】（1）取的中点，连接、，、分别为、的中点
13、，则且，且，且，所以，四边形为平行四边形，平面，平面，平面；（2）平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、，所以，因为，平面；（3），则，其中，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，所以，平面的一个法向量为，由（2）可知，平面的一个法向量为，由题意可得，整理可得，解得.因此，当时，二面角为.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中
14、两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20. 已知椭圆与共焦点，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与曲线相交于，两点，是轴上一点，若的面积为，求点的坐标.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，根据焦点坐标以及点得到关于方程组，求解出的值，则椭圆方程可求；（2）设，联立方程先计算出的值，然后根据（为与轴的交点）求解出点的坐标.【详解】（1）的焦点为，设椭圆的方程为，又因为椭圆过点，所以，所以，所以椭圆的方程为：；（2）设因为，所以，所以，所以，又因为经过点，所以，所以，所以或，所以的坐标为或.【点睛】关键点点睛：解答本题中第二问的已知三角形面积求参数问题的关键是将三角形的面积表示为“公共底边乘以相对高度”，其中“相对高度”的值需要借助韦达定理的形式去计算.