1、第8讲对数函数1对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数2.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称常用结论对数函数图象的特点1当a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限3在直线x1的右侧：当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a0且a1)在(0，)上是增函数()(3)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)
2、，函数图象只经过第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏常见误区|(1)忽略真数大于零致误；(2)忽视对底数的讨论致误1函数f(x)log2x2的单调递增区间为_解析：设tx2，因为ylog2t在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx2的单调递增区间，所以所求区间为(0，)答案：(0，)2函数ylogax(a0，a1)在2，4上的最大值与最小值的差是1，则a_解析：分两种情况讨论：当a1时，有loga4loga21，解得a2；当0a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()(2)若方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为_
3、【解析】(1)由于ya|x|的值域为y|y1，所以a1，则yloga|x|在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大致为选项B(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，只需两图象在上有交点即可，则fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.【答案】(1)B(2)【迁移探究】(变条件)若本例(2)的条件变为：当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知fg，即2，所以a的取值范围为.答案：对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法如下：
4、(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；(2)在同一平面直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值1函数y2log4(1x)的图象大致是()解析：选C函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A，B；函数y2log4(1x)在定义域上单调递减，排除D选C2已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上的截距由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点答案：
5、(1，)对数函数的性质及应用(多维探究)角度一解对数方程、不等式 (1)方程log2(x1)2log2(x1)的解为_(2)设f(x)则方程f(a)f(a)的解集为_【解析】(1)原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，即x214，解得x，又x1，所以x.(2)当a0时，由f(a)log2alogf(a)loga，得a1；当af(a)的解集为_解析：由题意，得或解得a1或1a1与0a0得1x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.2若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为()A1，2) B1，2C1，) D2，)解析：选A
6、令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1，2)比较指数式、对数式的大小(师生共研) (1)(2020高考全国卷)设alog32，blog53，c，则()Aacb BabcCbca Dcab(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小有关系为()Aabc BbacCcba Dcab【解析】(1)因为2332，所以23，所以log32log33，所以a52，所以35，所以log53log55，所以bc，所以aclog24.1220.8，且yf(x)在R上为增函数，所以
7、f(log25)f(log24.1)f(20.8)，即abc，故选C【答案】(1)A(2)C(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 1已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc BacbCcab Dbca解析：选B因为ylog2x和y2x是其定义域上的增函数，而y0.2x是减函数，所以alog20.2201，c0.20.3(0，0.20)，即c(0，1)
8、所以acb.故选B2(2021江西五校联考)若0abbalogbalogb BbaablogblogbaClogbaabbalogb Dlogbabaablogb解析：选D因为0ab1，所以0abbbbalogbb1，logbbaablogb，故选D思想方法系列5分类讨论思想研究指数、对数函数的性质 已知函数f(x)loga(2xa)(a0且a1)在区间，上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是()A(，1)B，1)C(，1) D，1)【解析】当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间，上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a0，且a1)，当x0时，求函数的值域解：ya2x2ax1，令tax，则yg(t)t22t1(t1)22.当a1时，因为x0，所以t1，所以当a1时，y2.当0a1时，因为x0，所以0t1.因为g(0)1，g(1)2，所以当0a1时，11时，函数的值域是2，)；当0a1时，函数的值域是(1，2