1、2.5平面向量应用举例考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量在平面几何中的简单应用bb平面向量在物理中的简单应用aa知识导图学法指导1.本节的重点是用向量解决实际问题的两种方法(基底法和坐标法)和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题2通过练习，体会平面几何中的向量方法与代数方法的区别：前者的思路是“形到向量向量的运算向量和数到形”，后者的思路是“形到数数的运算数到形”3向量在物理中的应用，应注意两个方面：一是体会如何把物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用向量来解决这个数学模型.1.物理学中的量与向量的关系(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是
2、向量(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法2用向量方法解决平面几何问题的三个步骤向量方法解决平面几何问题的六个应用(1)证明线段相等：通过向量运算，证明 2 2，即可证明ABCD.(2)证明线段平行：利用，点A，B，C，D不共线，可以证明ABCD，特别地，当1时，AB綊CD.(3)证明线段垂直：利用0，证明两线段垂直(4)证明三点共线：利用(R)可以证明A，B，C三点共线，也可变形为xy(x，yR，xy1)，其中O为空间任意一点(5)证明四点共面：利用(，R)可以证明点P，A，B，C四点共面(6)求值：利用向量的夹角公式求角；利用|求长度小试身手1判断下列命题是否正
3、确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则()(2)若ABC为直角三角形，则有0.()(3)若向量，则ABCD.()答案：(1)(2)(3)2已知点A(2，3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()AA，B，C三点共线B.CA，B，C是等腰三角形的顶点DA，B，C是钝角三角形的顶点解析：因为(2,0)，(2,4)，所以40，所以C是钝角答案：D3若向量(1,1)，(3，2)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(5,0) B(5,0)C. D解析：F1F2(1,1)(3，2)(2，1)|F1F2|.答案：C4力F(1，2
4、)作用于质点P，使P产生的位移为s(3,4)，则力F对质点P做的功是_解析：因为WFs(1，2)(3,4)11，则力F对质点P做的功是11.答案：11类型一向量在几何中的应用例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.【证明】方法一设a，b，则|a|b|，ab0，又a，b，所以a2ab|a|2|b|20.故，即AFDE.方法二建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积
5、为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式(基底法)，也可以考虑坐标的形式(坐标法)方法归纳用向量方法解决平面几何问题的步骤跟踪训练1(1)在四边形ABCD中，若0，0，则四边形为()A.平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形(2)若O是ABC内一点，0，则O为ABC的()A.内心B外心C垂心D重心解析：(1)由题可知，|，且，故四边形为菱形(2)如图，取AB的中点E，连接OE，则2.又0，所以2.又O为公共点，所以O，C，E三点共线，且|2|.所以O为ABC的重心答案：(1)D(2)D(1)由 可得，|，0可得. (2)作出图形，取AB的中点E，连接OE.类型二向量在物理中的应用例2如
6、图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分)【解析】设F1(a1，a2)，F2(b1，b2)，则a1300cos 30150，a2300sin 30150，b1200cos 45100，b2200sin 45100，所以F1(150，150)，F2(100，100)，则FF1F2(150，150)(100，100)(150100，150100)，|F|100314.6.设F与x轴的正方向的夹角为，则tan 2.461 6.由F的坐标知是第一象限的角，所以6753.故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为6753，与y轴的正方向的夹角大约为227.
7、利用，的大小和夹角确定，的坐标求出的坐标进而得到的大小和方向方法归纳用向量方法解决物理问题的“三步曲”跟踪训练2一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)解析：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度在RtABC中，|2，|2，|4，tanCAB，CAB60，故船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速间的夹角为60.用相关向量表示行驶速度和水流速度，再利用平行四边形法则求解2.5基础巩固(25分钟，60分)一、选择题
8、(每小题5分，共25分)1过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70 B2xy70Cx2y40 Dx2y40解析：设P(x，y)是所求直线上除A点外的任一点，则a0，又(x2，y3)，所以2(x2)(y3)0，即所求直线方程为2xy70.答案：A2已知三个力F1(2，1)，F2(3,2)，F3(4，3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A(1，2) B(1，2)C(1,2) D(1,2)解析：F4(F1F2F3)(2，1)(3,2)(4，3)(1,2)答案：D3已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,
9、4)，(0,2)，则此四边形为()A梯形 B菱形C矩形 D正方形解析：(3,3)，(2，2)，所以，与共线，但|，故此四边形为梯形答案：A4河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2 m/sC4 m/s D12 m/s解析：由题意知|v水|2 m/s，|v船|10 m/s，作出示意图如右图小船在静水中的速度大小|v|2 (m/s)答案：B5在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，5，则AC的长为()A1 B2C3 D4解析：因为，所以2222，即21，所以|2，即AC2.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分
10、)6如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60角，当小车向前运动10米时，力F做的功为_焦耳解析：设小车位移为s，则|s|10米，WFFs|F|s|cos60101050(焦耳)答案：507若3e，5e，且|，则四边形ABCD的形状为_解析：由3e，5e，得，又因为ABCD为四边形，所以ABDC，ABDC.又|，得ADBC，所以四边形ABCD为等腰梯形答案：等腰梯形8如图，在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_.解析：因为()(1,2)，所以(1,2)(1,2)143.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9如图所示，在正方形ABCD中，P为对角
11、线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.解析：方法一设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a|a| Bs|a|Cs|a| Ds与|a|不能比较大小解析：物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s500，由位移的合成易得|a|a|.答案：A12已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|，则等于_解析：由已知得ABC为正三角形，向量与的夹角为120，所以cos 120.答案：13某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向解析：设a表示此人以每小时a千米的速度向东
12、行驶的向量，无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为va，设a，2a，v，因为，所以va，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为，所以v2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意：PBO45，PABO，BAAO，从而，POB为等腰直角三角形，所以POPBa，即|v|a，所以实际风是每小时a千米的西北风14已知RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDAB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)解析：(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，因为D为AB的中点，所以D，所以|，|，所以|，即CDAB.(2)因为E为CD的中点，所以E.设F(x,0)，则，(x，m)因为A，E，F三点共线，所以.即(x，m).则故，即x，所以F，所以|，即AF.
