1、2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不
2、准使用涂改液、刮纸刀.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.若集合，则集合 A.B.C.D.2. 若，则 A. B. C. D.3.直线：与圆M：相切，则的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或 4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为 相关系数为相关系数为 相关系数为A. B. C. D. 5.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则 A.B.C.D.6.函数的零点个数为A.2 B.3 C.4 D.57.一个算法的程序框图
3、如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是A.4C.58.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像A.向左平移 B.向右平移C.向左平移 D.向右平移9.给出下列说法：命题“若，则”的否命题是假命题；命题p：,使，则：；“”是“函数为偶函数”的充要条件；命题：“，使”， 命题：“在ABC中，若,则”.那么命题（）为真命题.其中正确的个数是A. 4B. 3C. 2D. 110.双曲线的右是焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 11.四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正
4、方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于A.B.C.D.12.现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有A.288种B.144种C.72种D.36种第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.二项式的展开式中的系数是_.14.某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图
5、中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为_.15.等比数列的首项为，公比为，其前项和为，则数列为递增数列的充分必要条件是_.16、 如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17、（本小题满分12分）在中，向量，向量，且满足.求角的大小；求的取值范围.18.（本小题满分12分） 2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似
6、整数值）；从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位，求他们贷款年限相同的概率；假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变，在这段时间里，每星期都从借贷客户中选出一人，记表示其中贷款年限不超过20年得人数，求.19.（本小题满分12分）已知四棱柱中，,，. 求证：； 求二面角的正弦值; （3）求四面体的体积.20.（本小题满分12分）已知分别为椭圆的左右焦点， 分别为其左右顶 点，过的直线与椭圆相交于两点. 当直线与轴垂直时，四边形的面积等于2，且满足.求此椭圆的方程；当直线绕着焦点旋转但不与轴重合时，求的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数.讨论函数的单调性；对于任意正实数，不等式
7、恒成立，求实数的取值范围；是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交该圆于两点，且，.求证： 与相似；求的大小.23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；当时
8、，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数 解不等式； 若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围.2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2012年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.D 2.C 3. B 4. A 5.D 6. B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B简答与提示：1. D集合，则，即.故选D.2. C 由于. 故选C.3. B 由题意可知，圆：的圆心到直线：的距离为圆的半径，由点到直线的距离公式可知或. 故选B.4. A
9、 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知，故选A.5. D 由题意，即，可得，或，又已知，即，.故选D.6. B在同一坐标系内画出函数和的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C初始值，第一次循环后，第二次循环后，第三次循环后，第四次循环后，因此循环次数应为4次，故可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列可知，函数的周期为，可知，即函数，可将化为，可知只需将向左平移个单位即可获得. 故选A.9. B命题“若 ，则”的否命题是“若 ，则”，是假命题，因此正确；命题 使，则完全符合命题否定的规则，因此也正确；“函数为偶函数”的充要
10、条件是，即，因此错误；命题，使”中，当时，即，使”为假命题，而命题中，若，则”为真命题，可知命题（）为真命题，因此正确.一共有3个正确. 故选B.10. C 双曲线的右焦点是抛物线的焦点可知，又可知到抛物线的准线的距离为5，可设，根据两点间距离公式可得到，将双曲线方程化为，代入点的坐标并求解关于的一元二次方程，可求得或. 又，可将舍去，可知，即，（或根据双曲线定义得2a=|PF2|PF1|=2），综上可知双曲线的离心率为. 故选C.11. B 由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形
11、的对角线长度为球的半径，且四棱锥的高，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为， 因此，进而球的体积. 故选B.12. B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为，即满足题意的情况共有种. 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 314. 15.且16. 简答与提示：13. 利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有和，求和后可得 ，即的系数为3.14. 由体对角线长，正视图的对角线长，侧视图的对角线长，可得长方体的
12、长宽高分别为，2，1，因此其全面积为.15. 由得，当时，；当时，即，.综合可得数列单调递增的充要条件是:且.16. 根据指数函数的性质，可知函数恒过定点，将点代入，可以得. 对作如下变形：.由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以. 由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是，从而的取值范围是，进一步可以推得的取值范围是.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域. 【试题解析】解：由，可知.然而 ， 所以，. (5分
13、). (9分)因为，所以，即，即所以，即的取值范围是. (12分) 18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学期望的求法.【试题解析】平均年限. (4分) 所求概率. (8分)由条件知，所以. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.【试题解析】解：由四边形是正方形，所以.又平面，所以，而，所以平面，.又，所以平面，从而. (4分)以为坐标原点，,为坐标轴建立空间直角坐标系，则易得，设平面的
14、法向量为，则由 ，求得；设平面的法向量为， 则由，求得，则根据,于是可得. (9分)(3) 设所给四棱柱的体积为V,则，又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，记为，而三棱锥的体积又等于三棱锥的体积，记为.则由于， ，所以所求四面体的体积为. (12分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】当直线与x轴垂直时，由，得. 又,所以，即，又，解得. 因此该椭圆的方程为. (4分)设，而，所以，.从而有. (6分)因为直线过椭圆的焦点，所以可以设直线的方程为，则由消去并
15、整理，得，所以，. (8分)进而，可得. (10分)令，则. 从而有，而，所以可以求得的取值范围是.(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】令,得.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增. (3分)由于，所以.构造函数，则令，得.当时，；当时，.所以函数在点处取得最小值，即.因此所求的的取值范围是. (7分)结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：.构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)对于求导得 .令，则，显然是减函数.又，所以函数在上是增函数，在上是减函
16、数，而， ，. 所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增. ，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. 题目要找的，理由是： 当时，对于任意非零正数，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明； 当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小. 综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立. (12分)( 注意：对于和的存在性也可以如下处理：令，即. 作出基本函数和 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程
17、有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. ） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】因为为圆的切线，所以.又为中点，所以.因为，所以与相似.（5分）由中与相似，可得.在中，由，得.(10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方
18、程为,曲线 是抛物线的一部分； 对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由，得，求得. 综合可求得的取值范围是：或. （6分） (2)当时，直线N: ，设M上点为，则 ，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有关知识内容.【试题解析】解：（1）当时，由解得：；当时，由得，舍去；当时，由，解得. 所以原不等式解集为. (5分)（2）由（1）中分段函数的解析式可知:在区间上单调递减，在区间上单调递增.并且，所以函数的值域为.从而的取值范围是,进而 的取值范围是.根据已知关于的方程的解集为空集，所以实数的取值范围是. (10分)
