1、31.5 空间向量的数量积三维目标1知识与技能(1)掌握空间向量的定义及数量积公式(2)掌握空间向量的数量积的坐标运算(3)掌握向量垂直的充要条件(4)掌握向量模长及夹角公式2过程与方法(1)通过比较平面向量、空间向量的数量积运算，培养学生观察、分析、类比转化的能力(2)通过向量数量积的运算过程，培养学生基本的运算能力(3)通过向量数量积的应用，学会向量法探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高学生分析问题、解决问题的能力3情感、态度与价值观(1)通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式(2)通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让
2、学生感受数学，体会数学的魅力，激发学生学数学、用数学的热情重点难点重点：空间向量数量积公式及其应用难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题教学建议向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高本节
3、课围绕“提出问题分析问题解决问题应用拓展”的教学模式，让学生从几何体直观感知空间直线所成的角度，在熟练掌握平面向量数量积的基础上理解空间向量数量积的计算公式这样在教师的引导下学生很容易得知空间向量也是在组成新的平面后进行运算顺势直接对比分析与前面所学的平面内数量积运算的异同点，并在后续通过学生的自主探究使学生获得知识、形成能力教学流程演示结束课标解读1.理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律(重点)2掌握空间向量的数量积及应用(重点、难点)3向量夹角与直线所成角的区别(易错点)空间向量的夹角【问题导思】a，b与b，a相等吗？a，b与a，b呢？【提示】a，bb，a，a
4、，ba，ba，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作OA a，OB b，则 叫做向量 a 与向量 b 的夹角记法：向量 a 与向量 b 的夹角，记作 ，a，b的范围是 ，如果a，b2，则称 a 与 b ，记作 .AOBa，b0，互相垂直ab空间向量的数量积设 a，b 是空间两个非零向量，我们把数量叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab我们规定：零向量与任一向量的数量积为.cosa，b (a，b 是两个非零向量)abab0(a，b 是两个非零向量)|a|2.|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b0ab|a|b|aaa2与平面向量一样，空间向量的数量积也满足如下的运算律：(
5、1)ab；(2)(a)b(R)；(3)a(bc).ba(ab)abac空间向量数量积的坐标表示若 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)ab.(2)ab(a0，b0)(3)|a|aa .(4)cosa，b (a0，b0)x1x2y1y2z1z2ab0 x1x2y1y2z1z20 x21y21z21x1x2y1y2z1z2x21y21z21 x22y22z22空间两点间的距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB .x1x22y1y22z1z22求空间向量数量积 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AB1 的中心
6、，F 为 A1D1 的中点试计算：(1)BC ED1；(2)BFAB1；(3)EFFC1.【思路探究】思路一，按基向量法，利用定义计算数量积；思路二，按坐标法，利用坐标运算求数量积【自主解答】法一 如图所示，设ABa，AD b，AA1c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)BC ED1 b12(ca)b|b|24216.(2)BFAB1(ca12b)(ac)|c|2|a|222220.(3)EFFC1 12(ca)12b(12ba)12(abc)(12ba)12|a|214|b|22.法二 以 A 为原点，AB，AD，AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(1)
7、B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)BC(0,4,0)，ED1(1,4,1)，BC ED1 0(1)440116.(2)B(2,0,0)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，BF(2,2,2)，AB1(2,0,2)，BFAB1 2220220.(3)E(1,0,1)，F(0,2,2)，C1(2,4,2)，EF(1,2,1)，FC1(2,2,0)，EFFC1 1222102.1利用定义求向量数量积的步骤：(1)选定基底，用基向量表示要求数量积的两个向量；(2)利用数量积运算法则，进行数量积运算2利用坐标法求向量数量积的步骤：(1)恰当建立坐
8、标系，求点的坐标；(2)求向量坐标；(3)利用数量积的坐标运算求数量积已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线都等于 a，如图 3116 所示，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，求下列向量的数量积：(1)ABAC；(2)AD BC；(3)GF AC；(4)EFBC.图 3116【解】(1)ABAC|AB|AC|cosAB，AC aa12a22.(2)BC AC AB，AD BC AD(AC AB)AD AC AD AB.又|AD|BC|a，AD，AC AD，AB60，AD BC a22 a22 0.(3)G，F 分别为 CD，AD 的中点，GF 12CA 12AC.GF AC
9、 12AC2.AC2 a2，GF AC 12a2.(4)E，F 分别为 AB，AD 的中点，EF12BD.EFBC 12BD BC 12aa12a24.利用数量积求夹角 如图 3117，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求向量BC1 与AC 的夹角的大小图 3117【思路探究】思路一，利用基向量；思路二，利用坐标法【自主解答】法一 基向量法设正方体的棱长为 1.BC1 AC(BC CC1)(ABBC)(AD AA1)(ABAD)AD AB|AD|2AA1 ABAA1 AD0|AD|200|AD|21，又|BC1|2，|AC|2，cosBC1，AC BC1 AC|BC1|AC|12 212
10、.BC1，AC 0，180，BC1，AC 60，即向量BC1 与AC 的夹角的大小为 60.法二 坐标法如图，以 AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，C1(1,1,1)，AC(1,1,0)，BC1(0,1,1)，cosBC1，AC 1，1，00，1，12 212.BC1，AC 60.1通过以上两法可以看出，如果较易建立空间直角坐标系，坐标法优于基向量法，计算更快捷，叙述过程更简洁2两向量夹角的范围是0，利用夹角公式求出余弦值为正值时(不为 1)，夹角为锐角；余弦值为负值时(不为1
11、)，夹角为钝角；余弦值为1 时，夹角为 180；余弦值为 1时，夹角为 0.如图 3118 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E1，F1 分别是 A1B1，C1D1 的一个四等分点，求BE1，DF1 夹角的余弦值图 3118【解】如图所示，不妨设正方体的棱长为 1，以DA，DC，DD1 为单位正交基底，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0，0,0)，B(1,1,0)，E1(1，34，1)，F1(0，14，1)所以BE1(1，34，1)(1,1,0)(0，14，1)，DF1(0，14，1)(0,0,0)(0，14，1)，则|BE1|0214212 174，|DF1|0214212
12、174，BE1 DF1(0，14，1)(0，14，1)001414111516.所以 cosBE1，DF1 BE1 DF1|BE1|DF1|1516174 1741517.因此，BE1 与DF1 夹角的余弦值是1517.利用数量积求距离 如图 3119 所示，在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线 AC 将ACD 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求此时 B，D 间的距离图 3119【思路探究】求 B，D 间的距离可以转化为求向量BD 的模，但向量BD 的模直接求解较难，可以转化为其他向量，注意到折起后 AB 与 AC，CD 与 AC 的垂直关系没有发生改变，从
13、而可以充分利用这种关系求解【自主解答】ACD90，AC CD 0.同理可得AC BA0.AB 与 CD 成 60角，BA，CD 60或BA，CD 120，又BD BA AC CD，|BD|2|BA|2|AC|2|CD|22BAAC 2BACD 2ACCD 3211cosBA，CD 当BA，CD 60时，|BD|24，此时 B，D 间的距离为 2；当BA，CD 120时，|BD|22，此时 B，D 间的距离为 2.1应注意BA，CD 应有两种取值 60或 120，不应只误为 60，而不进行分类讨论2利用空间向量求线段的长度或两点间的距离的步骤如下：(1)结合图形将所求线段用相应向量表示；(2)用
14、其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|a2求出|a|，即得所求线段的长度或两点间的距离如图 3120，已知平行四边形 ABCD 中，AD4，CD3，D60，PA平面 ABCD，PA6，求 PC 的长图 3120【解】PC PAAD DC，|PC|2PC 2(PAAD DC)2|PA|2|AD|2|DC|22PAAD 2PADC 2AD DC6242322|AD|DC|cos 120611249，PC7.利用数量积证垂直 如图 3121 所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M 是 A1B1 的中点求证：A1BC1M.图 3121【思路探究】结
15、合直三棱柱的特点建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，表示出A1B，C1M，进行数量积的坐标运算即可【自主解答】如图所示，以CA，CB，CC1 为正交基底，建立空间直角坐标系 Cxyz.依题意得 B(0,1,0)，A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，则M(12，12，2)，于是A1B(1,1，2)，C1M(12，12，0)，A1B C1M 121200，A1B C1M，故 A1BC1M.1本例也可以CA，CB，CC1 为基向量证明结论，不妨一试，证明从略2利用数量积证明空间垂直，以算代证，较为方便如图 3122，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，PB 与底面
16、所成的角是 30，BAD90，ABCD，ADCDa，AB2a.若 AEPB 于 E，求证：DEPB.图 3122【证明】以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系PA平面 ABCD，PBA 是 PB 与底面 ABCD 所成的角，PBA30，PA2 33 a.A(0,0,0)，B(2a,0,0)，D(0，a,0)，P(0,0，2 33 a)AD(0，a,0)，PB(2a,0，2 33 a)AD PB(0，a,0)(2a,0，2 33 a)0，PBAD.又PBAE，PB平面 ADE，PBDE.弄错向量的夹角而致错 如图 3123 所示，在空间四边形 AB
17、CD 中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于 1，M，N 分别是AB，AD 的中点，求MN DC.图 3123【错解】MN DC 12BD DC12|BD|DC|cosBD，DC 12cos 6014.【错因分析】本题错误的原因是误认为BD，DC 60，而实际上BD，DC 120.【防范措施】求两个向量的夹角时，要注意向量夹角的顶点必须是向量的共同的起点，如果没有公共起点，要把其中一个向量平移，使其有公共起点，然后再求【正解】MN DC 12BD DC12|BD|DC|cosBD，DC 12cos 12014.1两向量的数量积是一个实数，而非向量，计算时有两种方式：(1)定义法(2)坐标法利
18、用定义法时，注意向量的夹角不要弄错2利用向量的数量积运算可以计算向量的模及夹角，即|a|aa a2，a，b ab|a|b|，从而求空间线段的长及空间角的大小3两向量垂直的充要条件应用广泛，应注意该条件的双向应用，以此论证空间垂直问题.1下列各命题中，正确的命题有_ aa|a|；m(a)b(m)ab(m、R)；a(bc)(bc)a；a2bb2a；a2|a|2.【解析】根据向量数量积定义可推得均正确，而中，左边a2b|a|2b，右边|b|2a，显然当 a，b 不同向时一定不会相等，故错【答案】2若 a(0,2，2)，b(1，1,1)，则 ab_.【解析】ab(0,2，2)(1，1,1)012(1)
19、(2)14.【答案】43若 a(1，2)，b(2，1,2)，且 a 与 b 夹角的余弦值为89，则 _.【解析】ab12(1)226，又ab|a|b|cosa，b 52 9898 523，8 5236，解得 2 或 255.【答案】2 或 2554已知向量 a(1，2,4)，向量 b 满足以下三个条件：(1)ab0；(2)|b|10；(3)b 与向量 c(1,0,0)垂直试求向量 b.【解】设 b(x，y，z)，ab0，x2y4z0，|b|10，x2y2z2100.bc，bc0，x0.联立解得x0y4 5z2 5或x0y4 5z2 5b(0,4 5，2 5)或 b(0，4 5，2 5).课时作
20、业（十八）已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3，0,4)，设 aAB，bAC.(1)求 a 和 b 的夹角 的余弦值；(2)若向量 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值【思路探究】(1)利用向量夹角公式较易求解；(2)逆用两向量垂直的充要条件，列出关于 k 的方程【自主解答】(1)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，AB(12,10,22)(1,1,0)，AC(32,00,42)(1,0,2)，a(1,1,0)，b(1,0,2)cos ab|a|b|111002121202 120222110 1010.a 和 b 的夹角 的余弦值为 1010.(
21、2)kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2bk(1,1,0)2(1,0,2)(k2，k，4)，又(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得 k52或 k2.1要熟记向量夹角公式及向量的垂直的坐标表示形式，第(2)问也可以按向量数量积的运算律求解，即(kab)(ka2b)k2a2kab2b20，解得 k52或 k2.2向量数量积的应用很多，尤其是向量的垂直可以用来证明空间两直线的垂直，也可以利用垂直反求待定系数的值已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以AB、AC 为边的平行四边形的面积；(2)若|a|3，且 a 分别与AB、AC 垂直，求向量 a.【解】(1)AB(2，1,3)，AC(1，3,2)，cos A ABAC|AB|AC|236419 19412，sin A 32.S 平行四边形|AB|AC|sin A7 3.以AB、AC 为边的平行四边形的面积为 7 3.(2)设 a(x，y，z)，由题意，得2xy3z0，x3y2z0，x2y2z23.解得x1，y1，z1，或x1，y1，z1.a(1,1,1)或 a(1，1，1).