1、13.1函数的单调性与导数(1)填一填1.函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0且越来越大f(x)0且越来越小函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢f(x)0且越来越小绝对值越来越大f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()2若f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)，则有f(x)0(或f(x)0)()3函数yx2ln x的单调减区间为(1,1)()4函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()5如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()6函数f(x)
2、xln x在定义域内是增函数()7当x2时，函数f(x)2x比g(x)x2增加速度较慢()8函数f(x)exx的单调递减区间是(0，)()想一想1.函数在区间(a，b)上的导数与单调性有何关系？(1)在某个区间(a，b)上，若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f(x)0，并与定义域求交集，可得出函数的增区间；解不等式f(x)0，且f(a)0，则在(a，b)内有()Af(x)0 Bf(x)0，函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，又f(a)0，f(x)f(a)0，故选A.答案：A2函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2，) B(，2)C(，0) D(0,2)解析：由f(
3、x)3x26x0，得0x0，得0x2，所以函数f(x)x25x2ln x的单调递增区间为和(2，)，故选C.答案：C4设函数在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是()解析：由函数yf(x)的图象知，f(x)在(，0)上为增函数，所以f(x)的图象在(，0)上均为正，排除C、D选项；又f(x)在(0，)上的图象的变化规律为减增减，所以f(x)的图象在(0，)上符号的变化规律为负正负，排除B选项，故选A.答案：A知识点一导数与函数图象的关系1.已知f(x)x2cos x，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象是()解析：f(x)x2cos x，f(x)xsin x，f
4、(x)xsin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D，又f(1)sin 10，可排除C，故选A.答案：A2已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如表，x10245f(x)12021f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A1 B2C3 D4解析：由导函数的图象和函数f(x)的部分对应值表，作出原函数的大致图象如图：因为1a0)故函数在(1，)上为减函数，在(0,1)上为增函数故选B.答案：B4求证：函数f(x)exx1在(0，)内是增函数，在(，0)内是减函数证明：因为f(x)exx1，所以f(x)ex1，当x(0，)时，ex1，所以f(
5、x)ex10，所以函数f(x)在(0，)内是增函数；当x(，0)时，ex1，所以f(x)ex10，所以函数f(x)在(，0)内是减函数.知识点三求函数的单调区间5.已知函数f(x)ln xx，则函数f(x)的单调递减区间是()A(，1)B(0,1)C(，0)，(1，)D(1，)解析：函数f(x)ln xx的定义域为(0，)，由f(x)11，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，)，故选D.答案：D6函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A(，0) B(0，)C(，3)和(1，) D(3,1)解析：y(3x2)ex，y2xex(3x2)ex(x22x3)ex，由(x22x3)ex0，得x22x
6、30，所以3x0)，则f(x)2ax为过原点的直线，正确；B中，若上方为f(x)0，则下方为f(x)单调递增，正确；C中，若上方为f(x)0，则下方为f(x)单调递增，正确；D中，若上方为f(x)0，则下方应为f(x)单调递增，不正确；若下方为f(x)0恒成立，且不恒等于0，则其对应的函数f(x)应单调递减，上方图象不符合，不正确故选D.答案：D8函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是_解析：f(x)2xx32，x(0,1)，f(x)2xln 23x20在(0,1)上恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增，又f(0)20021，f(1)21121，f(0)f(1)10；命题乙：f
7、(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：对任意x(a，b)，有f(x)0，则函数f(x)在(a，b)内单调递增，充分性正确；但若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则对任意x(a，b)，有f(x)0，必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件，故选A.答案：A2已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)解析：由f(x)的图象知，f(x)0在(，c)上恒成立，f(x)在区
8、间(，c)上单调递增，又abc，所以f(a)f(b)0，因为f(x)2x，由f(x)0得解得0x.故选A.答案：A4已知函数f(x)x，则f(x)在(0，)上的单调性为()Af(x)在(0，)上是增函数Bf(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数Cf(x)在(0，)上是减函数Df(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数解析：f(x)10时，有f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0Cf(x)0 Df(x)0，g(x)0时，f(x)0，g(x)0，函数f(x)、g(x)均在(0，)上单调递增，f(x)在(，0)上单调递增，g(x)在(，0)上单调
9、递减，当x0，g(x)0，在(4,5)上f(x)是增函数，故选C.答案：C7已知f(x)x2cos x，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)得图象大致是()解析：f(x)x2cos x，f(x)xsin x，由f(x)为奇函数，知C、D选项不正确；设g(x)f(x)xsin x，则g(x)1cos x0，当0x，ycos x为减函数，g(x)在(0，)上单调递减，f(x)的变化由快到慢，故选A.答案：A二、填空题8函数f(x)xex的单调递增区间是_解析：f(x)xex，f(x).由f(x)0，得x1，所以函数f(x)xex的单调递增区间是(，1)答案：(，1)9函数yf(x)在定义域内可导
10、，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_解析：f(x)0的解集即为函数f(x)的单调递减区间，结合题中的图象可知f(x)的单调递减区间为，(2,3)，所以f(x)0的解集为(2,3)答案：(2,3)10若函数f(x)的导函数为f(x)x24x3，则函数f(1x)的单调递减区间是_解析：由f(x)x24x30，得1x3，令11x3，解得0x0，得cos x，又x(0，)，所以x，所以函数f(x)的单调递增区间为.答案：12已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(0,0)，(2,0)，如图，则下列说法正确的序号有_函数f(x)的增区
11、间为(0,2)；函数f(x)的增区间为(，1)；函数f(x)的减区间为(，0)(2，)；f(0)f(2)解析：由导函数yf(x)的图象知，当x2时，f(x)0；当0x0，函数f(x)的减区间为(，0)，(2，)；增区间为(0,2)，正确，错误；又f(x)在(0,2)上单调递增，f(0)0，得x；由13x20，得x，所以函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为，.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x因为x0，由f(x)0，得即x；由f(x)0，得即0x0，得x1；由f(x)0，得3x1.所以函数f(x)的单调递增区间为(，3)，(1，)，单调递减区间为(3,1).能力提升15.证明函数f(x)在上单调递减证明：f(x)，f(x)，x，cos x0，xcos xsin x0，f(x)0，得x，函数F(x)的单调递增区间为(，2)和.令F(x)0，得2x，函数F(x)的单调递减区间为.综上所述，F(x)的单调递增区间为(，2)和，单调递减区间为.