1、廷锴纪念中学高二第一学期数学尖子生辅导资料（5）对称问题2015.5一、 关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题若点A, B, 则线段AB中点M的坐标是()；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M关于点P的对称点的坐标，利用中点坐标公式可得，解算的的坐标为。例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点的坐标是.点M关于点P的对称点的坐标; 点M关于原点的对称点的坐标.(2) 直线关于点对称 直线L：关于原点的对称直线设所求直线上一点为，则它关于原点的对称点为，因为点在直线上，故有，即； 直线：关于某一点的对称直线它的求法分两种情况：1)、当在上时，它的对称直线为过点的任一条直线。2)、当
2、点不在上时，对称直线的求法为：解法（一）：在直线上任取一点，则它关于的对称点为，因为点在上，把点坐标代入直线在中，便得到的方程即为，简化为：.解法（二）：在上取一点，求出关于点的对称点的坐标。再由，可求出直线的方程。解法（三）：由，可设关于点的对称直线为且求设从而可求的及对称直线方程。(3) 曲线关于点对称 曲线关于的对称曲线的求法：设是所求曲线的任一点，则点关于的对称点为在曲线上。故对称曲线方程为。关于直线的对称(1) 点关于直线的对称1）点关于轴的对称点为2）点关于轴的对称点为3）关于直线的对称点是4）关于直线的对称点是5）点关于直线的对称点为6）点关于直线的对称点为7）点关于某直线的对称
3、点的坐标解法（一）：由知，直线的方程，由可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点的坐标。解法（二）：设对称点为，由中点坐标公式求得中点坐标为把中点坐标代入中得到；再由得，联立、可得到点坐标。解法（三）：设对称点为，由点到直线的距离公式有，再由得，由、可得到点坐标。2）直线关于直线的对称直线设直线，则关于轴对称的直线是关于轴对称的直线是关于对称的直线是关于对称的直线是1）当与不相交时，则在上取一点求出它关于的对称点的坐标。再利用可求出的方程。2）当与相交时，、三线交于一点。解法（一）：先解与组成的方程组，求出交点的坐标。则交点必在对称直线上。再在上找一点，点的对称点也在上，由、两点可求出直线的
4、方程。解法（二）：在上任取一点，则点关于直线的对称点在直线上，再由，。又的中点在上，由此解得，把点代入直线的方程中可求出的方程。解法（三）：设关于的对称直线为，则必过与的交点，且到的角等于到的角，从而求出的斜率，进而求出的方程。例1：求直线关于直线对称的直线的方程解：设为所求直线上任意一点，则其关于对称的点在直线上.故所求直线方程为(2) 曲线关于直线对称 曲线关于直线的对称曲线的方程，在上任取一点，可求出它关于的对称点坐标，再代入中，就可求得的方程。例2：求圆关于直线：的对称圆的方程解法（一）：设为所求圆上任意一点，则其关于对称的点在上. -即为对称圆的方程解法（二）：求圆心（0，0）关于对
5、称点C（1，1）例3：已知直线L:，在L上求一点P，使得：1)、P到点A（4，1）和点C（3，4）的距离之和最小.2）、P到点A（4，1）和点B（0，4）的距离之差的绝对值最大.例4：已知A(4, 0) B(0, 4), 从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上, 最后经直线OB反射后又回到P点, 则光线所经过的路程是例5：自点发出的光线l射到x轴上，被轴反射，其反射光线m所在直线与圆C:相切，求光线l与m所在的直线方程.1. 点关于点的对称点是 2. 求直线关于点对称的直线方程是 .3. 圆C：关于直线l：对称的圆的方程是 4. 已知直线l：，求: (1)P(4, 5)关于直线l的对称点的坐标； (2)与直线关于直线l对称的直线的方程； (3)与直线关于直线l对称的直线的方程；PABO5. 求函数的最小值.解：点P关于y轴的对称点P坐标是（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P（a，b）光线所经过的路程|PP|=2