1、第2课时函数的最大值、最小值知识点函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xR)的最大值是0，有f(0)0.小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数都有最大值或最小值()(2)函数的最小值一定比最大值小()答案：(1)(2)2函数f(x)在1，)上()A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值解析：函数f(x)是反比例函数，当x(0，)时，函数图象下降，所以在1，)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在1，)上的最大值，函数在1，)上没有最小值故选A.答案：A3函数f(x)2x1(x2,2)的最
2、小、最大值分别为()A3,5 B3,5C1,5 D5,3解析：因为f(x)2x1(x2,2)是单调递减函数，所以当x2时，函数的最小值为3.当x2时，函数的最大值为5.答案：B4函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()Af(2)，0 B0,2Cf(2)，2 Df(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax2.点(2，f(2)是最低点，故yminf(2)答案：C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以
3、函数yf(x)当x3时取得最大值，最大值是3.当x1.5时取得最小值，最小值是2.函数的单调递增区间为1.5,3)，5,6)，单调递减区间为4，1.5)，3,5)，6,7观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(1.5，2)方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y|x1|2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域解析：y|x1|2图象如图所示由图象知，函数y|x1|2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(，2利用x的不同取值先去绝对值，再画图类型二利用单调性求函数的最大(小值)例2已知f(x)，(1)判断f(x)在(1，)上的单调性，并加以证明(2)求f(x)在2,6上的
4、最大值和最小值【解析】(1)函数f(x)在(1，)上是减函数证明：任取x2x11，则f(x1)f(x2)，因为x110，x210，x2x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在(1，)上是减函数(2)由(1)可知f(x)在(1，)上是减函数，所以f(x)在2,6上是减函数，所以f(x)maxf(2)1，f(x)minf(6)，即f(x)min，f(x)max1.(1)用定义法证明函数f(x)在(1，)上的单调性(2)利用函数单调性求最大值和最小值方法归纳1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小
5、)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个跟踪训练2已知函数f(x)，求函数f(x)在1,5上的最值解析：先证明函数f(x)的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2x1，f(x1)f(x2).由于x2x1，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函
6、数f(x)在区间上是减少的，所以函数f(x)在1,5上是减少的，因此，函数f(x)在区间1,5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5).(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值类型三二次函数最值例3求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值【解析】f(x)(xa)21a2，其图象的对称轴为直线xa.(1)当a0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2)当0a1时，由图可知， f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.(3)当12时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)max
7、f(0)1.由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线xa，位置不确定，所以应按对称轴与区间0,2的相对位置进行分类讨论方法归纳1如何求二次函数在闭区间m，n上的最值？确定二次函数的对称轴xa；根据am，ma，an，an这4种情况进行分类讨论；写出最值2求二次函数的最值常用的数学思想方法数形结合思想、分类讨论思想跟踪训练3已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)0,3；(3)1,1解析：f(x)3x212x53(x2)27.(1)当xR时，f(x)3(x2)277，当x2时，等号成立故函数f(x)的最小值为
8、7，无最大值(2)函数f(x)3(x2)27的图象如图所示，由图可知，在0,3上，函数f(x)在x0处取得最大值，最大值为5；在x2处取得最小值，最小值为7.(3)由图可知，函数f(x)在1,1上是减函数，在x1处取得最大值，最大值为20；在x1处取得最小值，最小值为4.求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列函数在1,4上最大值为3的是()Ay2By3x2Cyx2 Dy1x解析：B，C在1,4上均为增函数，A，D在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.答案
9、：A2函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对解析：当1x1时，6x78，当1x2时，82x610.f(x)minf(1)6，f(x)maxf(2)10.故选A.答案：A3若函数yx26x7，则它在2,4上的最大值、最小值分别是()A9，15 B12，15C9，16 D9，12解析：函数的对称轴为x3，所以当x3时，函数取得最小值为16，当x2时，函数取得最大值为9，故选C.答案：C4已知函数f(x)，x8，4)，则下列说法正确的是()Af(x)有最大值，无最小值Bf(x)有最大值，最小值Cf(x)有最大值，无最小值Df(x)有最大值2，最小
10、值解析：f(x)2，它在8，4)上单调递减，因此有最大值f(8)，无最小值故选A.答案：A5已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0C1 D2解析：f(x)(x24x4)a4(x2)24a，函数f(x)图象的对称轴为x2.f(x)在0,1上单调递增又f(x)min2，f(0)2，即a2.f(x)maxf(1)1421.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1)上的最小值是，则b_.解析：因为f(x)在1，b上是减函数，所以f
11、(x)在1，b上的最小值为f(b)，所以b4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9已知函数f(x)|x|(x1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间上的最大值解析：f(x)|x|(x1)的图象如图所示(1)f(x)在和0，) 上是增函数，在上是减函数，因此f(x)的单调递增区间为，0，)；单调递减区间为.(2)因为f，f()，所以f(x)在区间上的最大值为.10已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数在区间3,5上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值解析：(1)函数f(x)在3,5上是增加的
12、，证明：设任意x1，x2，满足3x1x25.因为f(x1)f(x2)，因为3x10，x210，x1x20.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以f(x)在3,5上是单调递增的(2)f(x)minf(3)，f(x)maxf(5).能力提升(20分钟，40分)11当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析：令f(x)x22x，则f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.a0.答案：C12用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)min4x1，x4，x8的最大值是_解析：在
13、同一坐标系中分别作出函数y4x1，yx4，yx8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)min4x1，x4，x8的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x2时取得最大值6.答案：613求函数f(x)x22x2在区间t，t1上的最小值g(t)解析：f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，其图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值g(t)f(t)t22t2.综上可得，g(t)14已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解析：(1)当a时f(x)x2.设1x1x2，则f(x2)f(x1)(x2x1)(1)，1x10,2x1x22，00.f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立x22xa0恒成立. 设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a的取值范围为(3，)