1、3.1.4 空间向量的坐标表示及坐标运算 我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置，那么 如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？ayjiO图 1xxiyj平面向量的坐标表示axiy ja记作：=（x,y）xyzOkija对空间任一向量 ,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ,使 a(,)x y z.axiy jzk-ao xyz有序实数组就叫做向量 在空间直（x,y,z角坐标系中）的坐标。=a记作（x,y,z）ABCDDCBAMBAMNBND,MN例1：已知正方体-的棱长为1，试建立适当的坐标系求M,N的坐标，的坐标。MNDABBCCDAyxOyxjA
2、（x,y）ai如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点A的位置由唯一确定。OAaa设,则的坐标（x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。OAxiy jOAOA(,)A x y zaxyzOkij如图，在空间直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点A的位置由唯一确定。OAaa设,则的坐标（x,y,z)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y,z)也就是的坐标。OAxiy jzkOAOA即(,)(,)OAx y zA x y z MNDABBCCDA平面向量坐标运算法则:,则设1212(,),(,)a
3、a abb bababa0/时，bab1122(,)ab ab1122(,)ab ab12(,)()aaR 1122,()ab abR1122AB A（x,y）,B（x,y）,则2121(x-x,y-y）ab空间向量坐标运算法则:,则设123123(,),(,)aa a abb b bababa0/时bab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)()aaaR 112233,()ab ab abR111222=?ABA（x,y,z）,B（x,y,z）,则212121ABOB OA-=(x-x,y-y,z-z）ab空间向量的坐标运算(1,3,8),(3,10
4、,4),3abab ab a例2.已知，求变式：已知 A，B，C 三点的坐标分别是(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求适合下列条件的点 P 的坐标(1)OP 12(ABAC)；(2)AP12(ABAC)解：AB(2,6，3)，AC(4,3,1)(1)OP 12(ABAC)12(6,3，4)(3，32，2)，则点 P的坐标为(3，32，2)(2)设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)由(1)知，AP12(ABAC)(3，32，2)，则x23y132z22，解得x5y12z0，则点 P 的坐标为(5，12，0)例3：已知空间四点 A(-2,3,1),B(2,-5
5、,3),C(10,0,10)和D(8,4,9)，求证：四边形ABCD是梯形探究：已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求满足 DBAC，DCAB 的点 D 的坐标解:设 D(x，y，z)，则DB(x,1y，z)，AC(1,0,2)，由 DBAC，设DB AC，即(x,1y，z)(，0,2)，则x，1y0，z2，解得x，y1，z2，得 D(，1，2)DC(，1,22)，AB(1,1,0)又DC AB，设DC AB，即(，1,22)(，0)，则，1，220.解得 1.点 D 的坐标为(1,1,2)课堂小结：1.空间向量的坐标表示2.空间向量的坐标运算3.与平面向量的类比ayjiO图 1xxiyj其中xi为x i，yj为y j
