1、四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）1.在中，点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为，所以，即；故选D.2.已知是等差数列，是它的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质计算【详解】是等差数列，故选B【点睛】本题考查等差数列的性质，即在等差数列中，若（是正整数），则，特别地，则，由此可得前的性质：3.在中，角，的对边分别为，且，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得：，解得
2、，即可求出【详解】由正弦定理得：，解得，故或，当时，当时，.故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查了计算能力，属于基础题.4.等比数列的前n项和为，若则=（ ）A 10B. 20C. 20或-10D. -20或1【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质可得，S10，S20S10，S30S20成等比数列，所以（S20S10）2S10（S30S20）可解得答案.【详解】由等比数列的性质可得，S10，S20S10，S30S20成等比数列，且公比为（S20S10）2S10（S30S20）即解得=20或-10由所以=20故选：B.【点睛】本题考查等比数列的前项和的性质，,注意值的取舍，属
3、于中档题.5.在ABC中，A60，且最大边长和最小边长是方程x27x110的两个根，则第三边的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】第三边即为a,又,故选C.6.在中，角，的对边分别为，若，则为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得代入原式得解得则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论7.等差数列的前项和为，已知，则当取最大值时的值是（ ）A
4、. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，求出数列的通项公式，表示出，等差数列的前项和是不含常数的二次函数，利用二次函数性质求解，要注意；【详解】解：，当时取最大值故选：【点睛】本题主要考查了等差数列的和的最值的求解，由于数列是一类特殊的函数，在有关最值的求解中，要善于利用这一性质进行求解，但要注意为正整数的限制条件8.在等差数列中，若，则的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列性质化简条件与结论，即得结果.【详解】因为，所以，因此，选A.【点睛】本题考查等差数列性质，考查等价转化求解能力，属中档题.9.一海轮从A处出发，以每小时40海里
5、的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知ABC中，AB20，BAC30，ABC105，所以C45，由正弦定理，有，所以10.故选B.10.已知数列中，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由递推关系，结合，可求得，的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求的值【详解】因为，由，得；由，得；由，得；由，得；由，得；由，得由此推理可得数列是一
6、个周期为6的周期数列，所以，故选A【点睛】本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题11.已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用，确定点O的位置，结合三角形面积公式求解.【详解】因为，所以,所以取的中点,则, .，即为中线的中点,如图所示，则的面积为，的面积为，,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量的应用，利用向量的线性运算及共线定理确定点的位置是求解本题的关键.12.设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2004，那么数列2，的“理想数”为（ ）A. 2002
7、B. 2004C. 2006D. 2008【答案】A【解析】【分析】由公式得，数列，的“理想数”为，从而得；所以数列2，的“理想数”为：，得出答案【详解】解：根据题意得，数列，的“理想数”为，即；数列2，的“理想数”为：故选：A【点睛】本题考查了数列前项和的公式，即的灵活应用，解题时要弄清题意，灵活运用所学知识，解出正确答案属于中档题第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知，且三点共线，则_【答案】【解析】【分析】由三点共线，得，根据向量共线的坐标表示求.【详解】三点共线，.，.故答案为：.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.14.在中，角
8、A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】由已知条件可得,，根据三角形的面积公式求解即可.【详解】在中,，.故答案为：.【点睛】本题考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题.15.已知数列中，为前n项和，则_【答案】【解析】【分析】由得出，的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，求得，然后利用等差数列前项和公式进行分组求和即可得出结论.【详解】解：由得，的奇数项构成公差为2的等差数列，偶数项也构成公差为2的等差数列，,故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，通项公式和前项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题.16.等比数列的公比为，前项的积
9、为，并且满足，给出下列结论；是中最大的；使得成立的最大的自然数是4018.其中正确结论的序号为_.（将你认为正确的全部填上）【答案】【解析】详解】， 或，如果 ,那么，如果,那么,又应与异号，即 和前面 假设矛盾了， ,又或者 ,，那么应该大于1，又矛盾了，因此，综上所述，故 正确；，故正确；由结论 可知数列从2010项开始小于1，所以 为最大项，故不正确；由结论 可知数列从2010项开始小于1，因为数列从2010项开始小于1，所以当时，成立的最大的自然数， 求得，故正确，故答案为.三、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，
10、共70分）17.在ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】（1）B=60（2）【解析】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理18.已知数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式.（2），利用错位相减法即可求出数列的和.【详解】（1）因为数列的前n项和，当时，两式相减得，当时，满足上式，故.（2），则，两式相减得到：，化简整理得到：.【点
11、睛】本题考查了求数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在矩形中，点E是的中点，点F在边上.（1）若点F是上靠近C的三等分点，试用，表示；（2）若有向量满足，点是上靠近C的四等分点，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以向量作为基底向量，结合向量的加法运算，得出；（2）建立直角坐标系，利用坐标运算，得出的值.【详解】（1）（2）以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系设则 ，解得【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知向量共线求参数，属于中档题.20.六安市某棚户区改造，四边形为拟定拆迁棚户区，测得,千米，千米，工程规划用
12、地近似为图中四边形的外接圆内部区域.（）求四边形的外接圆半径；（）求该棚户区即四边形的面积的最大值.【答案】（） （） 【解析】试题分析：（）由题得：在，由余弦定理，求得，再由正弦定理，即可求解的值.（）由（）得，由余弦定理得，进而得到，即可得到结论.试题解析：（）由题得：在 所以 （）由（）得，由余弦定理得： 即 所以(当且仅当PB=PC时等号成立) 而 故 21.已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1) ,变形可得，利用累乘法即可求得数列的通项公式；(2)由(1)可知，则利用放缩法可知，再利用裂项相消即可求得结果.【详解】
13、（1）由得，即，即，所以，又满足，所以（2）证明：，.故.【点睛】本题考查累乘法求数列通项公式，考查利用放缩法和裂项相消求和证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.22.已知数列的前n项和满足. ，（1）证明数列为等差数列，并求出数列的通项公式.（2）若不等式，对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由与关系，得出的递推关系，再用等差数列的定义，证明为等差数列，求出其通项，即可求得的通项公式；（2）不等式，对任意恒成立，分离参数转为对任意恒成立，转为求数列的最大值，即可求出结果；【详解】解：（1）当时，得，当时，两式相减得：，即，又，数列是以2为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）知，即不等式，对任意恒成立，等价于对任意恒成立，记,时，,当时，或时，取最大值为，即, 的取值范围是：.【点睛】本题考查等差数列的证明,数列的通项公式的求法及应用，着重考查学生的运算能力、转化能力和思维能力，注意过程的规范性书写，属中档题