1、江苏省基地学校2021届高三数学上学期第一次（12月）大联考试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡和试卷的指定位置上。2 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项 是符合题目要求的。1 已知，则 A B C D2 已知复数的共轭复数为，若，且，则A1BC2D3 已知，则的大小关系是A B C D4 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是A B C D5 有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为A10种 B20种 C30种 D40种6 函数的部分图象可能是7 若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为 A B C D8 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山
3、银山。宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山。”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基。某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为A2655万元B2970万元C3005万元D3040万元二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9 2019年1月到2019年12月某地新能源汽车配套公
4、共充电桩保有量如下： 则下列说法正确的是A2019年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势 B2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加超过2万台 C2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅最大 D2019年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台10设，则下列结论正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则11如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，（第11题），点在上，点在上，为的中点则A B异面直线与所成角为C三棱锥的体积为D直线与平面所成角的正弦值为12已知函数，则下列结论正确的是A函数是周期函数 B函数在上有4个零点C函数的图象关于对称 D函数的最
5、大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。13已知向量，且，则 14设函数则 15已知抛物线，斜率为的直线经过点，且与交于两点（其中点在轴上方）若点关于轴的对称点为，则外接圆的方程为 16某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入（第16题）其中若水晶球最高点到底座底面的距离为m，则水晶球的表面积为 m2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答已知ABC中的内角A
6、，B，C的对边分别为a，b，c，面积为若， ，求a和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且，（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：19（本小题满分12分）近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的BMI数值标准为：BMI18.5为偏瘦；18.5BMI24为正常；24BMI28为偏胖；BMI28为肥胖某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值（1）根据
7、调查结果制作了如下列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；肥胖不肥胖合计经常运动员工4060不经常运动员工2440合计100（2）若把上表中的频率作为概率，现随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人中“经常运动且不肥胖”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望附：，其中0.100.050.010.0052.7063.8116.6357.87920（本小题满分12分）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，且 ABCDEF（第20题）（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求的值21（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆，点为上的动点，三点共线，直线的斜
8、率分别为（1）证明：；（2）当直线过点时，求的最小值；（3）若，证明：为定值22（本小题满分12分）已知函数，（）（1）当时，证明：；（2）设函数，若有极值，且极值为正数，求实数的取值范围2021届江苏基地学校高三第一次大联考数学参考答案及评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。14 D B C D 58 C B B C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9A B 10A C 11A B D 12A C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。138 14 15 168 【解析】设2014年到2024年每年的投入资金分别为由已知，为等差数列，其和为万元；
9、为等比数列，公比为，其和为又，所以万元，所以投资总额大约为3005万元选C12【解析】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；对于B，令，得，函数的零点个数可转化为两函数图象交点个数，画图可知，图象在上有只有2个交点，所以B错误；对于C，由，所以，所以函数的图象关于对称，C正确；对于D，由，取一个周期，令，得，且当时，当时，当时，所以函数在时取极大值由于，所以函数的最大值为，D正确所以本题选ACD16【解析】四个小三角形的顶点所在平面截球面得小圆的的半径为，小圆面到底座的距离为设球的半径为，由条件，得，解得，所以水晶球的表面积为m2四、解答题：本题共6小题，共70分。17（本小题满分10分）【
10、解】若选，由及正弦定理，得，所以 3分因为，所以 5分又，所以， 6分结合，可得 8分所以ABC中的面积 10分 若选，由， 可得下同 3分 若选，由，得， 3分 因为，所以下同 5分18（本小题满分12分）【解】（1）因为，所以当时，即 1分 当时，有，所以， 即，即（），所以是首项为，公比为的等比数列， 4分 所以 所以 6分 （2） 8分 所以， 10分可知为递增数列，所以又，所以，所以 12分19（本小题满分12分）【解】（1）填表如下：肥胖不肥胖合计经常运动员工204060不经常运动员工241640合计4456100 2分所以 5分 因为，所以有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关
11、6分 （2）“经常运动且不肥胖”的频率为 8分 现随机抽取3人，“经常运动且不肥胖”的人数为可能的取值为0，1，2，3 ， ， 10分 所以随机变量的分布列为0123 所以的数学期望 12分20（本小题满分12分）【证】（1）因为，所以，又因为平面，平面，所以平面 2分因为底面是正方形，所以，又因为平面，平面，所以平面 4分因为平面，平面，所以平面平面因为平面，所以平面 6分【解】（2）以为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴，zyxABCDEF建立如图空间直角坐标系由得， 设平面的法向量为，由已知得，由得不妨取，则， 从而平面的一个法向量为 8分设平面的法向量为，又，由得不妨取，则， 所以
12、平面的一个法向量为 10分所以因为二面角的大小为，所以，化简得，解得或（舍去） 12分21（本小题满分12分）【解】（1）由题知关于原点对称，则可设因为点在椭圆上，所以，所以，所以 2分（2）设直线，代入可得，所以，因此， 4分因为，所以 设，则，等号当仅当时取，即时取等号 所以的最小值为8 7分（3）不妨设，由，所以 8分将直线的方程为代入可得，即因为，所以方程可化为所以，即，所以，即10分所以 12分22（本小题满分12分）【解】（1）当时，设，所以， 令，得 当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即 2分又，因为与同号（当时，）所以，即综上可知， 4分 （2）（），所以 当时，在上单调递减，所以无极值5分 当时，记，所以， 所以即在上单调递减 又， 7分 当时，所以在上存在唯一的，使得当，所以单调递增；当，所以单调递减，所以的极大值为，符合题意 10分 当时，同理符合题意当时，由（1）知，不合题意 综上，实数的取值范围是且 12分