1、2021年四川省眉山市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。1复数（）AiB+iCiD+i2某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A27B23C15D73在ABC中，角AB是sinAsinB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了A，B，C，D，E，F，G，H这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成如图所示
2、的雷达图，根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（）A新规实施后，D类商品的评价得分提升幅度最大B新规实施后，H，F类商品的评价得分低于新规实施前C这8类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分D有7类商品的评价得分高于新规实施前5直线l经过圆C：x2+y22x+2y+10的圆心C，且倾斜角为，则直线l的方程为（）Axy+10Bxy10Cx3y+30Dx3y306某四棱台的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A44+12B40+12C40+12D44+127已知函数f（x）sin（4x），若将f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移（0）个单位长度，得到函数g（x）的
3、图象，且函数g（x）的图象关于y轴对称，则的最小值是（）ABCD8如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成）现给图中ABE，BCF，CDG，DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有4种不同的颜色可供选择则不同的涂色方法种数是（）A48B54C72D1089已知双曲线C：1（a0，b0），给出以下条件：实轴长为3；过点（，5）；渐近线方程为3x4y0；离心率为上述条件中，使双曲线C的方程为1的所有条件是（）ABCD102021年3月20日，“沉睡三千年
4、，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是（）（参考数据：，）A公元前1400年到公元前1300年B公元前1300年到公元前1200年C公元前1200年到公元前1100年D公元前1100年到公元前1000年1
5、1阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数（0，1）的动点的轨迹，已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA2sinB，acosB+bcosA3，则ABC面积的最大值为（）A3B3C6D612若函数f（x）x2exaxalnx有2个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，e）B（0，2e）C（e，+）D（2e，+）二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量（t，1），（1，2），且|，则实数t 14计算 15中国古代数学家刘徽所注释的九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”，
6、如图所示的鳖臑ABCD中，AB面BCD，CDBC，若CD1，AC，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为 16已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，A是C的准线上一点，面积为4的等边AFB的顶点B恰在抛物线C上，若直线BF与抛物线C的另一个公共点为D，则|BD| 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an的前n项和Sn满足anSn（Sn1）2（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式18某城市为改善保障性租赁住房的品质，
7、对保障性租赁住房进行调研，随机抽取了200名保障性租赁住房的租赁人进行问卷调查，并对租赁房屋的品质进行满意度测评，收集整理得到如下22列联表：30岁及以下30岁以上小计满意60110不满意30小计（1）完成上述列联表；通过计算判断是否有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段（“30岁及以下”和“30岁以上”）有关系？（2）现从满意度评分为“不满意”的人中按照表中年龄段分层抽取了6名租赁人进行座谈，若从这6人中随机抽取3人给予一定的租赁优惠，记“所抽取的3人中年龄在30岁及以下”的人数为，求的分布列和数学期望附表及公式：K2P（K2k0）0.150.100.0500.025
8、0.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819如图1是由正方形ACC1A1和长方形BCC1B1组成的平面图形，且AC2BC4，D，E分别是A1C1，BC的中点将其沿CC1折起，使得二面角ACC1B的平面角大小为60，如图2，在图2中，（1）判断直线C1E与平面ABD的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值20已知O为坐标原点，A，B分别为椭圆C：+1（ab0）的右顶点和上顶点，AOB的面积为1，设M，N是椭圆C上的两个动点，且OMON，当|OM|ON|时，|MN|（1）求a，b的值；（2）过O作线段M
9、N的垂线，垂足为H，求的取值范围21已知f（x）excosx+ax2x（1）当a1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）（a1）x，求的值（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知射线l：yx（x0），曲线C1：（t为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为8sin（1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；（2）设射线l与C1交于点M，与C2交于O，N，求|MN|的值选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x+|+|12x|（1）解不
10、等式f（x）x；（2）令f（x）的最小值为M，正数a，b满足a+2bM，求证；a2b2+参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数（）AiB+iCiD+i解：故选：A2某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A27B23C15D7解：设高三（1）班有50名学生组成的集合为U，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为B，由题意可得，集合A中有15个元素，集合B中有
11、20个元素，AB中由8个元素，所以AB中由15+20827个元素，所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723故选：B3在ABC中，角AB是sinAsinB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解：（1）ABC中，角AB：若0AB，根据ysinx在（0，上单调递增得到sinAsinB；若0A，0A+B，所以sinAsin（B）sinB；角AB能得到sinAsinB；即AB能得到sinAsinB；角AB是sinAsinB的充分条件；（2）若sinAsinB：A，B（0，时，ysinx在上单调递增，所以由sinAsinB，得到AB；A，B时，显然满足AB；
12、即sinAsinB能得到AB；AB是sinAsinB的必要条件；综合（1）（2）得角AB，是sinAsinB的充要条件故选：C4某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈情况，随机抽取了A，B，C，D，E，F，G，H这8类商品，收集了这几类商品分别在新规实施前后的消费者评价得分，绘制成如图所示的雷达图，根据统计图判断，下面的叙述一定不正确的是（）A新规实施后，D类商品的评价得分提升幅度最大B新规实施后，H，F类商品的评价得分低于新规实施前C这8类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分D有7类商品的评价得分高于新规实施前解：对于A，由雷达图可知，D类商品在新规实施前后的评价得分差最大，故选项
13、A正确；对于B，由雷达图可知，新规实施后，H，F类商品的评价得分低于新规实施前，故选项B正确；对于C，新规实施后，除H，F类商品外，其余6类商品的评价得分高于新规实施前，且增长幅度超过H，F评价得分下降的幅度，则这8类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分，故选项C正确；对于D，H，F两类商品评价得分低于新规实施前，其余6类商品的评价得分高于新规实施前，故选项D错误故选：D5直线l经过圆C：x2+y22x+2y+10的圆心C，且倾斜角为，则直线l的方程为（）Axy+10Bxy10Cx3y+30Dx3y30解：由C：x2+y22x+2y+10，得（x1）2+（y+1）21，则圆心坐标为C（1
14、，1），又直线l的倾斜角为，直线l的斜率为tan，则直线l的方程为y+1，即故选：B6某四棱台的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A44+12B40+12C40+12D44+12解：很具几何体的三视图转换为直观图为：四棱台；如图所示：所以44+12故选：D7已知函数f（x）sin（4x），若将f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移（0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的图象关于y轴对称，则的最小值是（）ABCD解：函数f（x）sin（4x），若将f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得ysin（2x）的图象，然后向右平移（0）个单位长度，得
15、到函数g（x）sin（2x2）的图象，函数g（x）的图象关于y轴对称，2+k+，kZ，则的最小值为，故选：B8如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成）现给图中ABE，BCF，CDG，DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有4种不同的颜色可供选择则不同的涂色方法种数是（）A48B54C72D108解：根据题意，分3步进行分析：对于“赵爽弦图”ABCD，有4种选法，对于AEB，有3种选法，对于AHD，有2种选法，对于DCG和BCF，若DCG与AEB选的
16、颜色相同，此时有2种选法，若DCG与AEB选的颜色不相同，此时有1种选法，则DCG和BCF有2+13种选法则有432372种涂色方法；故选：C9已知双曲线C：1（a0，b0），给出以下条件：实轴长为3；过点（，5）；渐近线方程为3x4y0；离心率为上述条件中，使双曲线C的方程为1的所有条件是（）ABCD解：双曲线C的方程为1，则a3，b4，c，双曲线的实轴长为2a6，故不正确；把点（，5）代入双曲线方程，可得，故正确；双曲线的渐近线方程为y，即3x4y0，故正确；双曲线的离心率为e，故不正确使双曲线C的方程为1的所有条件是故选：C102021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址
17、向世人展示了其重大考古新发现6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是（）（参考数据：，）A公元前1400年到公元前1300年B公元前1300年到公元前1200年C公元前1200年到公元前1100年D公元前1100年到公元前1000年解：设样本中碳14初始值为k
18、，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，则有yk（1p）x，由碳14的半衰期是5730年，则，即，所以，由题意可知，68%k，所以3188，2021年之间的3188年大致是公元前1167年，则大致年代为公元前1200年到公元前1100年故选：C11阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数（0，1）的动点的轨迹，已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA2sinB，acosB+bcosA3，则ABC面积的最大值为（）A3B3C6D6解：法一：因为sinA2sinB，所以|BC|2|AC|，因为acosB+b
19、cosA3，所以由正弦定理可得2R（sinAcosB+cosAsinB）3，R为ABC外接圆的半径，所以2Rsin（A+B）2RsinC3，可得c3，如图所示，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（3，0），C（x，y），因为|BC|2|AC|，所以（x3）2+y24（x2+y2），即（x+1）2+y24，所以y24（x+1）24，y0，所以y2，0）（0，2，可得0|y|2，所以SABC|AB|y|y|3，即ABC面积的最大值为3法二：acosB+bcosA3，a+b3，即+3，c3，sinA2sinB，由正弦定理可得a2b，1b3，由余弦定理可得：cosC，ABC面积S2sin2Cb41（
20、）29（b25）2，结合二次函数的性质可知，当b25即b时，面积取得最大值3故选：A12若函数f（x）x2exaxalnx有2个零点，则实数a的取值范围是（）A（0，e）B（0，2e）C（e，+）D（2e，+）解：，令tx+2lnx（x0），易知函数t（x）在（0，+）上单调递增，且t（，+），则原问题等价于有两个零点，当a0时，f（t）0，f（t）在R上单调递增，f（t）至多有一个零点，不合题意；当a0时，易知函数f（t）在单调递减，在单调递增，解得a2e，又当t时，f（t）+，t+时，f（t）+，f（t）在，各存在一个零点，符合题意综上，a2e故选：D二.填空题：本题共4小题，每小题5分，
21、共20分。13已知向量（t，1），（1，2），且|，则实数t0或2解：根据题意，向量（t，1），（1，2），则（t1，1），若|，则（t1）2+12，解可得t0或2，故t0或2，故答案为：0或214计算2解：故答案为：215中国古代数学家刘徽所注释的九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”，如图所示的鳖臑ABCD中，AB面BCD，CDBC，若CD1，AC，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为6解：由题意可知，球O为鳖臑ABCD的外接球，因为AB平面BCD，BD，CD平面BCD，所以ABBD，ABCD，又CDBC，ABBCB，AB，BC平面ABC，所以CD平面ABC，又A
22、C平面ABC，所以CDAC，取AD的中点E，连结BE，DE，因为ABBC，所以BEAEDE，同理可得，CEAEDE，故点E与球O的球心O重合，则球O的半径R，所以球O的表面积为6故答案为：616已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，A是C的准线上一点，面积为4的等边AFB的顶点B恰在抛物线C上，若直线BF与抛物线C的另一个公共点为D，则|BD|解：因为AFB为等边三角形，所以|BF|AB|，又由抛物线的定义可知，|BF|等于点B到抛物线l的距离，所以BAl，所以BAx轴，因为SAFB|AF|2sin|AF|24，所以|AF|4，因为BAx轴，所以AFOBAF，所以cosAFOcos，解得
23、p2所以抛物线方程为y24x，过点D作DGx轴于G，设|DF|m，且DFG，所以|FG|，|DG|m，故点D的坐标为（1，m），将D代入抛物线y24x，得m24（1），解得m，所以|BD|DF|+|BF|+4故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知数列an的前n项和Sn满足anSn（Sn1）2（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列an的通项公式解：（1）证明：anSn（Sn1）2，n2时，（SnSn1）Sn（Sn1）2，化为：Sn1Sn2Sn
24、+1，Sn12，1，数列为等差数列，公差为1（2）解：由anSn（Sn1）2，n1时，解得a1由（1）可得：（n1）1n，Snn2时，anSnSn1n1时，上式也成立an18某城市为改善保障性租赁住房的品质，对保障性租赁住房进行调研，随机抽取了200名保障性租赁住房的租赁人进行问卷调查，并对租赁房屋的品质进行满意度测评，收集整理得到如下22列联表：30岁及以下30岁以上小计满意60110不满意30小计（1）完成上述列联表；通过计算判断是否有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段（“30岁及以下”和“30岁以上”）有关系？（2）现从满意度评分为“不满意”的人中按照表中年龄段
25、分层抽取了6名租赁人进行座谈，若从这6人中随机抽取3人给予一定的租赁优惠，记“所抽取的3人中年龄在30岁及以下”的人数为，求的分布列和数学期望附表及公式：K2P（K2k0）0.150.100.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）列联表如下：30岁及以下30岁以上合计满意 6050110不满意 603090 合计12080200由题意可得K22.706，所以有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段有关系；（2）所抽取的6人红，30岁及以下的有4人，30岁以上的有2人，所以的可能取
26、值为1，2，3，则P（1），P（2），P（3），所以的分布列为： 1 2 3 P 故E（）1+2+3219如图1是由正方形ACC1A1和长方形BCC1B1组成的平面图形，且AC2BC4，D，E分别是A1C1，BC的中点将其沿CC1折起，使得二面角ACC1B的平面角大小为60，如图2，在图2中，（1）判断直线C1E与平面ABD的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值解：（1）C1E平面ABD，证明如下：取AB得中点N，连结EN，DN，因为N，M分别为AB，BC的中点，所以NEAC且NEAC，因为四边形ACC1A1是正方形，D是A1C1的中点，所以DC1AC且DC1，
27、所以DC1NE，且DCNE，则四边形NEC1D是平行四边形，所以C1EDN，因为C1E平面ABD，DN平面ABD，所以CE1平面ABD；（2）由题意可知CC1AC，CC1BC，所以ACB即为二面角ACC1B的平面角，即ACB60，在ABC中，因为AC4，BC2，ACB60，则由余弦定理可得，AB2AC2+BC22ACBCcosACB12，所以AB，因为AB2+BC2AC2，所以ABBC，因为CC1AC，CC1BC，ACBCC，AC，BC平面ABC，所以CC1平面ABC，因为BB1CC1，所以BB1平面ABC，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面ABD的法向量为，则有，
28、令x4，则y0，z1，故，所以，故直线BC与平面ABD所成角的正弦值为20已知O为坐标原点，A，B分别为椭圆C：+1（ab0）的右顶点和上顶点，AOB的面积为1，设M，N是椭圆C上的两个动点，且OMON，当|OM|ON|时，|MN|（1）求a，b的值；（2）过O作线段MN的垂线，垂足为H，求的取值范围解：（1）因为OAB的面积为1，所以ab2，由对称性，当OMON，|OM|ON|时，点M，N在直线yx上，而，不妨取，代入+1，可得，解得a2，b1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykx+m，联立方程组，可得（1+4k2）x218kmx+4m
29、240，由OMON，可得x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）0，将式代入上式，化简整理可得5m24k2+4，所以原点到直线的距离，故点H在圆O：上运动，当直线MN的斜率不存在时，由（1）可知，点H仍在圆O：上运动，记线段AB的中点为D，注意到直线AB与圆O：相切，则，因为，故，所以的取值范围为21已知f（x）excosx+ax2x（1）当a1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）（a1）x，求的值解：（1）当a1时，f（x）excosx+x2x，则f（x）ex+sinx+2x1，f（x）ex+cosx+20，f（x）在R上单调递增，又f（0）0，则当x0时，f（x）0，f（
30、x）单减，当x0时，f（x）0，f（x）单增，f（x）在x0处取得极小值f（0）0；（2）f（x）（a1）x即为excosx+ax2ax0，设g（x）excosx+ax2ax，则g（x）ex+sinx+2axa，g（x）ex+cosx+2a，g（0）0，g（0）1a，当a1时，g（x）ex+cosx+2a0，则g（x）在R上单调递增，又g（0）1a0，g（1）e+sin1+a0，则存在x0（0，1），使得g（x0）0，且当x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单减，则存x（0，x0），在g（x）g（0）0，不合题意；当a1时，由（1）可知，f（x）（a1）x恒成立；当0a1时，g（x）ex+c
31、osx+2a在（1，0）上单增，则g（x）e1+cos（1）+2a0，则g（x）在（1，0）上单增，又，则存在x1（1，0），使得g（x1）0，且当x（x1，0）时，g（x）0，g（x）单增，则存在x（x1，0），g（x）g（0）0，不合题意；当a0时，由于，不合题意综上，a1（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知射线l：yx（x0），曲线C1：（t为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为8sin（1）写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的
32、普通方程；（2）设射线l与C1交于点M，与C2交于O，N，求|MN|的值解：（1）射线l：yx（x0），转换为极坐标方程为（0），曲线C1：（t为参数）转换为普通方程为x2+（y2）24（y0）（2）曲线C1转换为极坐标方程为4sin，射线l与C1交于点M，故，则，与C2交于O，N，所以，解得，故|MN|4选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x+|+|12x|（1）解不等式f（x）x；（2）令f（x）的最小值为M，正数a，b满足a+2bM，求证；a2b2+解：（1）f（x）|x+|+|12x|，当x时，f（x）x3x，解得2x；当时，f（x）xx+，解得x；当x时，f（x）x3x+，解得x综上，原不等式的解集为x|2x；证明：（2）由（1）可知，当x时，f（x）3x4；当时，f（x）x+2；当x时，f（x）3x+2故f（x）的最小值M2，则a+2b2，于是2a+2b，则0ab，当且仅当a1，b时取等号下面证明a2b2+，当且仅当ab，即a1，b时取“”故a2b2+