1、22.2反证法填一填1.反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.判一判1.反证法属于间接证明问题的方法()2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()3反证法的实质是否定结论导出矛盾()想一想1.反证法的一般步骤是什么？提示：第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设非q；第二步，由非q出发，应用正确的推理，得出矛盾；第三步，断定产生矛盾的原
2、因在于所作的假设非q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题2反证法解题的实质是什么？提示：反证法实质是否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立3用反证法证题需要把握哪些？提示：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺
3、少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的4反证法适用范围主要有哪些方面？提示：一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等证明时常见的“结论词”与“反设词”结论词至少有一个至多有一个对所有x成立对任意x不成立至少有n个至
4、多有n个p或q非p且非q反设词一个也没有至少有两个存在某个x0不成立存在某个x0成立至多有n1个至少有n1个p且q非p或非q思考感悟：练一练1以下各数不能构成等差数列的是()A3,4,5 B.，C3,6,9 D.，解析：假设，成等差数列，则2，即1272，此等式不成立，故，不能构成等差数列答案：B2异面直线在同一个平面上的射影不可能是()A两条平行直线 B两条相交直线C一个点与一条直线 D同一条直线解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射
5、影分别是直线AB和BC，故排除B；BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A项故选D.答案：D3由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过_来证明原命题的正确性答案：逆否命题4用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a1|b1|0，则ab1”时，应作的假设是_解析：结论“ab1”的含义是a1且b1，故其否定应为“a1或b1”答案：a1或b1知识点一反证法的概念1.反证法是()A从结论的反面出发，推出矛盾的证法B对其否命题的证明C对其逆命题的证明D分析法的证明方法解析：由反证法的定义可知A项正确，故选A.答案：A2应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列
6、哪些作为条件使用()结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论A BC D解析：根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中应把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用答案：C知识点二反证法的步骤3.有下列叙述：“ab”的反面是“ay或x2，则p2q.p3(2q)3812q6q2q3.将p3q32代入得：6q212q60，(q1)22(q1)20，与x2y20矛盾；(2)x0，y0，则x2y20，与x2y20矛盾；(3)x0，y0，则x2y20，与x2y20矛盾故假设不成立，则x，y全为零基础达标一、选择题1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
7、()A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案：B2否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是偶数Ba，b，c都是奇数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有2个偶数”答案：D3命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是()A无解 B两解C至少两解 D
8、无解或至少两解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有或至少有两个”答案：D4“M不是N的子集”的充分必要条件是()A若xM，则xNB若xN，则xMC存在x1M，且x1N，又存在x2M，但x2ND存在x0M，但x0N解析：按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素所以要使M不是N的子集，只需存在x0M，但x0N即可答案：D5有下列说法：“ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”其中正确的说法有()A0个 B1个C2个 D3个解析：错误，应为ab；正确；错误，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上答案：B6已知数
9、列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A0个 B1个C2个 D无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意ab，nN*，则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，不存在n使得anbn.答案：A7若实数a，b，c满足a2bc2，则()Aa，b，c都是正数Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一个不小于解析：假设a，b，c均小于，则a2bc2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)答案：11设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至
10、少有一个数不小于_解析：假设a、b、c都小于，则abc1与abc1矛盾故a、b、c中至少有一个不小于.答案：12若两个方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有即解得2a，f(x)在区间a，b上单调递增，f()f()，这与f()f()0矛盾，f(x)0在区间a，b上至多有一个实根14已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，不可能构成等差数列证明：假设，成等差数列，则，2acbcab.又a，b，c成等差数列，2bac.2acb(ac)b2b，b2ac.由，得4b2(ac)2，把代入上式得4ac(
11、ac)2，(ac)20，ac.把ac代入得ba，故abc，公差为0，这与已知矛盾，不可能成等差数列.能力提升15.用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半解析：如图，已知ABC中，BAC90，D是BC边的中点求证：ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BBAD；同理CCAD，所以BCBADCAD，即BCBAC.因为BC180BAC，所以180BACBAC，则BAC90，与题设矛盾由知ADBC.16对于直线l：ykx1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A，B关于直线yax(a为常数)对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析：假设存在实数k，使得A，B关于直线yax对称，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(3k2)x22kx20.由得a(x1x2)k(x1x2)2，由知x1x2，代入整理得ak3，与矛盾故不存在实数k，使得A，B关于直线yax对称