1、课时作业19抛物线的简单几何性质(1)知识点一 由抛物线的标准方程研究几何性质1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A.y28xB.y28xC.y28x或y28xD.x28y或x28y答案C解析依题意设抛物线方程为y22px(p0)，则2p8，所以抛物线方程为y28x或y28x.故选C.2已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为_答案x24y解析由e1，得焦点为(0,1)，抛物线的标准方程为x24y.知识点二 由抛物线的几何性质求标准方程3.已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线
2、的标准方程为()A.x22yB.x22y或x22yC.x24yD.x24y或x24y答案D解析由题设知抛物线的焦点坐标为(0,1)或(0，1)，所以抛物线的标准方程为x24y或x24y.故选D.4边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A.y2xB.y2xC.y2xD.y2x答案C解析设抛物线方程为y2ax(a0)又A(取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故选C.知识点三 焦点弦问题5.已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1C.D.答案C解析根
3、据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).故选C.6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中点M到抛物线准线的距离解抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1.一、选择题1抛物线y24px(p0)的焦点为F，准线为l，则p表示()A.F到y轴的距离BF到准线l的距离C.F的横坐标DF到抛物线上一点的距离答案A解析焦点到准线的距离为2p，p表示点F到y轴的
4、距离故选A.2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|等于()A.10B.8C.6D.4答案B解析|AB|AF|BF|x1x2x1x2p628，故选B.3过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A.有且仅有一条B.有两条C.有无穷多条D.不存在答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|x1x2p527.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min2p4，所以这样的直线有两条故选B.4在平面直角坐标系xOy中，
5、已知直线l：y3与抛物线C：x2py(p0)相交于A，B两点，且OAOB，则抛物线C的方程为()A.y26xB.y23xC.x26yD.x23y答案D解析依题意，由得：A(，3)，B(，3)，OAOB，kOAkOB1，即1，p3，抛物线C的方程为x23y.故选D.5设A，B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于()A.30B.45C.60D.90答案D解析由|OA|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a0.SAOB2a16，解得a4，AOB为等腰直角三角形，AOB90.故选D.二、填空题6AB是过抛物线x24y焦点的弦，且|AB|1
6、0，则AB的中点的纵坐标为_答案4解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2py1y2210，即y1y28，故AB的中点的纵坐标为4.7已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为_答案解析点A(2,3)在抛物线C的准线上，2，p4.抛物线的方程为y28x，则焦点F的坐标为(2,0)又A(2,3)，根据斜率公式得kAF.8抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案6解析如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，B点坐标为.又点B在双曲线上，故1，解得p6.三、解答题9已
7、知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.10已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解由题意，可设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F，直线l：x，A，B两点坐标分别为，|AB|2|p|.OAB的面积为4，2|p|4，p2.抛物线方程为y24x.