1、第4讲二次函数与幂函数1幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(5)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)诊断自测1已知
2、幂函数yf(x)的图象经过点，则f(2)()AB4C D解析：选C设f(x)x，因为图象过点，所以f(4)4，解得，所以f(2)2.2已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()A3，) B(，3C(，3) D(，3解析：选D函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，所以2a6，解得a3，故选D3函数f(x)x22x3在闭区间0，3上的最大值为_最小值为_解析：f(x)(x1)22，0x3，所以x1时，f(x)min2，x3时，f(x)max6.答案：624已知函数f(x)
3、ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_解析：因为函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，所以解得a.答案：幂函数的图象及性质(自主练透)1已知幂函数f(x)mxn的图象过点(，2)，设af(m)，bf(n)，cf(ln 2)，则()AcbaBcabCbca Dabmln 2，故cab，故选B2幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则实数m的值为()A3 B0C1 D2解析：选C因为函数y在(0，)上单调递减，所以m22m30，解得1m3.因为mZ，所以m0，1，2.而当m0或2时，f(x)x3为奇函数，当m1时，f(x)x4为偶函数，所以m1.3若幂函数yx1，yxm与yxn在第
4、一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m0时，yx在(0，)上为增函数，且01时，图象上凸，所以0m1；当0时，yx在(0，)上为减函数，不妨令x2，根据图象可得212n，所以1n0，综上所述，选D4若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a0，若在(0，)上单调递减，则4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即
5、5ab，正确故选B【答案】B识别二次函数图象应学会“三看” 角度二二次函数的单调性问题 (1)函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3，0 B(，3C2，0 D3，0(2)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是()Af()ff()Bff()f()Cf()f()fDf()f()f【解析】(1)当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a|1|1|，所以f()f()f.【答案】(1)D(2)D【迁移探究】(变条件)若将本例(1)
6、的条件改为函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_解析：由题意知f(x)必为二次函数且a0，又1，所以a3.答案：3二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较 角度三二次函数的最值问题 若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关【解析】f(x)b，当01时，f(x)mi
7、nmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb，1ab，所以Mmmax与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0，1上单调递减，所以Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关，故选B【答案】B二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 角度四一元二次不等式恒成立问题 (1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)xk在区间3，1
8、上恒成立，则k的取值范围为_【解析】(1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得mk在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减所以g(x)ming(1)1.所以k1.故k的取值范围为(，1)【答案】(1)(2)(，1)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 1已知函数f(x)x2axb(a，bR)有两个零
9、点，则“2ab0”是“函数f(x)至少有一个零点属于区间0，2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A因为函数f(x)至少有一个零点属于区间0，2，所以可设f(x)x2axb(a，bR)有两个零点，分别为x1，x2，其中x10，2，x2R，则f(x)x2axb(xx1)(xx2)，abf(1)1(1x1)(1x2)1.由于x10，2，x2R，所以1x11，1，1x2R，所以ab(1x1)(1x2)1R.所以“2ab0”是“函数f(x)至少有一个零点属于区间0，2”的充分不必要条件. 2如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x都有f(1x)f(x)，那么()Af(0)f(2)f(2)Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(2)f(0)f(2)f(0)故选A3若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为_解析：因为函数f(x)x22x1(x1)2，对称轴x1，因为f(x)在区间a，a2上的最小值为4，所以当1a时，f(x)minf(a)(a1)24，解得a1(舍去)或a3，当a21，即a1时，f(x)minf(a2)(a1)24，解得a1(舍去)或a3，当a1a2，即1a1时，f(x)minf(1)04，故a的取值集合为.答案：