1、山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年高一数学下学期期中模拟检测试题（三）（含解析）（时间：120分钟 满分150分）一、单选题（每小题5分，共40分）1. 设是纯虚数，是虚数单位，若是实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，根据复数除法将复数表示为一般形式，由题意得出该复数的虚部为零，可求出实数的值，由此可得出复数的值.【详解】为纯虚数，设（且），则，又实数，即，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用复数类型求复数，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.2. 在中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：
2、首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3. 已知非零向量，满足，且，则的形状是A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰（非等边）三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根
3、据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状【详解】解：，分别为单位向量，的角平分线与垂直，三角形为等边三角形故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断考查了学生综合分析能力，属于中档题4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.5. 现有2名女教师和
4、1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题,其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可【详解】记两道题分别为A，B，所有抽取务情况为，(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种，其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为，共4种.故所求事件概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了古典型概率的计算，列举法是确定基本事件的常用方法，属于基础题.6. 已知所在平面内的一点满足，则（ ）A. 123B. 121C. 211
5、D. 112【答案】B【解析】【分析】延长至，可得出点是的重心，再根据重心的性质可得出结论。【详解】延长至，使得，于是有，即点是的重心，依据重心的性质，有.由是的中点，得.故选：B【点睛】本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。7. 已知外接圆半径为6的三边为，面积为,且,则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可得，再根据面积公式和余弦定理可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，最后利用基本不等式可得的最大值，从而可得面积的最大值.【详解】因为外接圆的半径为，所以可化为：，即，由余弦定理可
6、得，因，故，即，而，故，由可以得到，故，当且仅当时等号成立，所以，故选C.【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式以及基本不等式，属于中档题.8. 在中，则在方向上的投影是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将转化为，将两边平方，证得，在直角三角形中，求得夹角的余弦值，以及 ，代入公式求得题目所求在方向上的投影.【详解】，两边平方并化简得，即，故三角形为直角三角形，所以，.所以在方向上的投影.故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积，考查向量投影的计算，属于基础题.二、多选题（每小题5分，共20分）9. 已知复数(a,i为虚数单位),且,下列命题正确的
7、是( )A. z不可能为纯虚数B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数C. 若,则z是实数D. 可以等于【答案】BC【解析】【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,无解,即不可以等于,D错误.故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.10. （多选题）关于平面向量，下列命题中错误的是（ ）A. 若，则存在使得.B. 若为非零向量且，则的夹角为直角.C. 若，则D. 【答案】CD【解析】【分析】利用共线向量定理和向量数量积的
8、定义与运算律逐项判断后可得正确的选项.【详解】由共线向量定理可知选项A正确；因为为非零向量，故当时，它们的夹角为，所以，选项B正确；因为，所以，所以选项C错误；对于非零向量，当与不共线，且时，所以，选项D错误.故选：CD.【点睛】本题考查对向量数量积的运算律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律和结合律，本题属于基础题.11. 点O在所在的平面内,则以下说法正确的有( )A. 若,则点O为的重心B. 若,则点O为的垂心C. 若,则点O为的外心D. 若,则点O为的内心【答案】AC【解析】【分析】逐项进行分析即可.【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，
9、所以O为的重心；选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心；选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为的外心；选项D，由得，即，同理可证，即点O是的垂心；故选：AC【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题12. 甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）班级参加人数中位数方差平均数甲
10、55149191135乙55151110135A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同B. 甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C. 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数150个为优秀）D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数【答案】ABC【解析】【分析】根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数150个的人数分析即可.【详解】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A正确；，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确.甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由
11、题表看不出两班学生成绩的众数，D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了根据平均数、方差和众数分析实际意义的问题,属于基础题型.三、填空题（每小题5分，共20小题）13. 已知复数z的模为1，则的最大值是_，最小值是_.【答案】 (1). 4 (2). 0【解析】【分析】首先设，结合z的模为1，即可求得的轨迹，结合图像即可求解.【详解】设，则，则，故所对应的点在以(0,1)为圆心，1为半径的圆上，故到原点的最大距离为2，最小距离为0，所以的最大值是4，最小值是0.故答案为：4,0【点睛】本题考查复数的几何意义，恰当转化是关键，属于中档题.14. 若向量(k，3)，(1，4)，(2，1)，已知2
12、3与的夹角为钝角，则k的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由夹角为钝角，则数量积为负数，再排除(23)对应的参数值，即可求得结果.【详解】23与的夹角为钝角，(23)0，即(2k3，6)(2，1)0，解得k3.又若(23)，则2k312，即k.当k时，23(12，6)6，此时23与反向，不合题意.综上，k的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查根据向量夹角范围求参数范围，属基础题.15. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间/分频数用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值_，病人等待时间方差的估计值_.【答案】 (1). 9.5 (2). 28.5【解析
13、】【分析】直接套用平均数公式与方差公式，即可得到本题答案.【详解】（1）；（2）故答案为：（1）9.5；（2）28.5【点睛】本题主要考查平均数公式与方差公式的应用，属基础题.16. 如图，在中，D为边上的点，E为上的点，且，则_；若，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】可得出，在三角形中，由余弦定理可求出的值，在中，利用正弦定理求出的值，再由三角形的外角定理得出，从而得知为钝角，然后利用两角差的余弦公式得出的值.【详解】由题意可得，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得（负值舍去）；，在中，由正弦定理得，即，所以.因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，.故答案为：；.【
14、点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时也涉及了利用三角形的外角定理来求三角函数值，考查计算能力，属于中等题.四、解答题（17题10分，其它题目每题12分，共70分）17. 已知复数，其中为实数，为虚数单位.（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；（2）若是实数（是的共扼复数），求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据复数对应点所在的象限得出关于实数的不等式组，解出即可；（2）根据是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数的值，再利用复数的模长公式可计算出的值.【详解】（1）复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，即.故实数的取值范围是；（2），.
15、是实数，解得，.【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.18. 设是两个不共线的向量，已知.（1）求证：，三点共线；（2）若，且，求实数的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，三点共线，只需证明与共线，根据向量减法的三角形法则求出，利用向量共线定理可证.（2）由，则，再将条件代入，由是两个不共线的向量，从而可求解.【详解】解析（1）由已知得.又与有公共点，三点共线.（2）由（1）可知，又，可设，即，解得.【点睛】本题考查向量共线定理、减法的三角形法则，考查学生分析解决问题的能力属于基础题.19. 对某校
16、高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率10,15)100.2515,20)24n20,25)mp25,3020.05合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数【答案】见解析【解析】(1)由分组10,15)内的频数是10，频率是0.25，知0.25，所以M40.因为频数之和为40，所以1024m240，解得m4，p0.10
17、.因为a是对应分组15,20)的频率与组距的商，所以a0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是17.5.因为n0.6，所以样本中位数是1517.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1.样本平均人数是12.50.2517.50.622.50.127.50.0517.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.考点：中位数、众数、平均数.20. 已知分别为内角对边，（）求；（）已知点在边上，求【答案】（）（）1【解析】【分析】（）由余
18、弦定理化简已知可得，可求得，结合范围，可求的值（）由已知可求得，由余弦定理求得的值，可求的值，在中，由余弦定理可得的值【详解】解：（），整理可得：，（），可得：，由余弦定理，可得，可得：，解得： （负值舍去），中，由余弦定理可得：【点睛】本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题21. 中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查
19、，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（1）利用分层抽样在，三组中抽取5人，应从这三组中各抽取几人？（2）从（1）抽取的5人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.【答案】（1）从这三组中抽取的人数分别为3，1，1（2）（3）百元【解析】【分析】（1）利用分层抽样和频率分布直方图先求出再各区间的比例，再求出人数；（2）先求出基本事件的总数，再求出这2人不在同一组的基本事件数，再求概率即可；（3）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式即
20、可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知，三组的频数的比为，所以从中抽取：人，从中抽取：人，从中抽取：人，所以从这三组中抽取的人数分别为3，1，1；（2）记中的3人为，中的1人为b，中的1人为c，从这5人中随机选出2人，则样本空间含个样本点，设事件A：选出的2人不在同一组，则含7个样本点，所以；（3），估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值为百元.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质、分层抽样、平均数的求法和古典概型，考查学生的计算能力，属于基础题.22. 在中，角、的对边分别是，满足.（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)化简所得的三角函数式，结合三角形的性质可得角的值；(2)利用正弦定理将边的取值范围问题转化为三角函数求值域的问题，结合角的范围即可确定的取值范围.【详解】（1） ，化简得，所以.（2）由正弦定理得 ，则，所以，因为，所以，所以【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围
