1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算 学 习 目 标 1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算3了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系知识点一|平面向量的正交分解及坐标表示阅读教材P94P96，完成下列问题知识梳理1平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量2平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得axiyj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标(3)坐标表示：a(x，y)(4)特
2、殊向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)思考辨析判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a.(1)存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)()(2)若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2.()(3)若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的始点是原点O.()(4)若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)()答案：(1)(2)(3)(4)知识点二平面向量的坐标运算阅读教材P96P98，完成下列问题知识梳理平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x
3、2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和ab(x1x2，y1y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差ab(x1x2，y1y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标a(x1，y1)重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)小试身手1(2018河南洛阳一高月考)已知向量(2,4)，(0,2)，则()A(2，2)B(2,2)C(1,1) D(1，1)解析：选D()(2，2)(1，1)，故选D.2(2019重庆八中期末)
4、在ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，(1,2)，则()A(2,4) B(4,6)C(6，2) D(1,9)解析：选A在ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以(2,3)又(1,2)，所以(1,5)，(3，1)，所以(2,4)，故选A题型一平面向量的坐标表示【例1】(1)如图，向量a，b，c的坐标分别是_，_，_.解析将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a4i0j，a(4,0)，b0i6j，b(0,6)，又c2i5j，c(2，5)答案(4,0)(0,6)(2，5)(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，求向量的坐标；若B(，1)，求的坐标解设点A(x，y)，则
5、x4cos 602，y4sin 606，即A(2，6)，(2，6)(2，6)(，1)(，7).方 法 总 结求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|2，|b|3，分别求出它们的坐标解：设点A(x，y)，B(x0，y0)，|a|2，且AOx45，x2cos 45，且y2sin 45.又|b|3，xOB9030120，x03cos 120，y03sin 120.故a(，)，b.题型二平面
6、向量坐标运算的应用多维探究常见的应用角度有：1向量坐标运算的直接运用2利用向量坐标运算求点的坐标3利用向量坐标运算表示向量角度1向量坐标运算的直接运用【例2】(2018广州模拟)已知向量a(5,2)，b(4，3)，若c满足3a2bc0，则c()A(23，12)B(23,12)C(7,0) D(7,0)解析a(5,2)，b(4，3)，且c满足3a2bc0，c2b3a2(4，3)3(5,2)(815，66)(23，12)答案A角度2利用向量坐标运算求点的坐标【例3】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求点M，N的坐标解解法一：A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(2,4)
7、(3，4)(1,8)，(3，1)(3，4)(6,3)3，2，3(1,8)(3,24)，2(6,3)(12,6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，(x13，y14)(3,24)，(x23，y24)(12,6)，解得M(0,20)，N(9,2)解法二：设O为坐标原点，则由3，2，可得3()，2()，32，2.3(2,4)2(3，4)(0,20)，2(3，1)(3，4)(9,2)M(0,20)，N(9,2)角度3利用向量坐标运算表示向量【例4】已知O是ABC内一点，AOB150，BOC90，设a，b，c，且|a|2，|b|1，|c|3，试用a，b表示c.解如图所示，以O为原点，向量所在的直线为x
8、轴建立平面直角坐标系|a|2，a(2,0)设b(x1，y1)，x1|b|cos 1501，y1|b|sin 1501，b.同理可得c.设c1a2b(1，2R)，1(2,0)2，解得c3a3b. 方 法 总 结利用平面向量坐标运算解决有关问题的基本思路(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用(2)利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出
9、相应系数1把握2种方法求平面向量坐标的两种方法(1)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标；(2)求差法：用表示向量的有向线段的终点的相应坐标减去起点的相应坐标2掌握1类技巧平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行自测检评1.如图，我们在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|2，45，则向量a的坐标为()A(1,1)BC(，) D(i
10、，j)解析：选C设向量a(x，y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为，由三角函数的定义，可知x|a|cos 2，y|a|sin 2.故选C2设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若4i2j，3i4j，则2的坐标是()A(1，2)B(7,6)C(5,0) D(11,8)解析：选D因为(4,2)，(3,4)，所以2(8,4)(3,4)(11,8)故选D.3已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2) B(1,2)C(5,6) D(2,0)解析：选Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)故选A4已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC45，设(1)(R)，则实数的值为()A BC D解析：选C如图所示，AOC45，设C(x，x)，则(x，x)又A(3,0)，B(0,2)，(1)(3，22)，.故选C5若AC为ABCD的一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(1，1) B(3,7)C(1,1) D(2,4)解析：选A由题意可得(1,3)(2,4)(1，1)故选A