1、第2课时三角函数线Q 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的时候，看到从水车上滴滴答答落下的水滴，同学们能想到些什么呢？X 单位圆中的三角函数线1有向线段一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB2，CD1，而有向线段BA2
2、，DC1.2三角函数线的作法如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角的终边交于点P(角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合)过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sin_MP_，cos_OM_，tan_AT_.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的_正弦_线、_余弦_线、_正切_线，统称为三角函数线知识点拨三角函数线的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外三角函数线的方向：正弦线由垂足
3、指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与的终边(或反向延长线)的交点三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值Y 1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”(1)三角函数线是有向线段，既有大小，又有方向()(2)正弦线的起点一定在x轴上，余弦线的起点一定是原点，正切线的起点一定是(1,0)()(3)若角的余弦线是长度为单位长度
4、的有向线段，则其终边落在x轴的正半轴上()(4)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线，长度相等、符号相同()2如图所示，P是角的终边与单位圆的交点，PMx轴于M，AT和AT均是单位圆的切线，则角的(C)A正弦线是PM，正切线是ATB正弦线是MP，正切线是ATC正弦线是MP，正切线是ATD正弦线是PM，正切线是AT3不论角的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是(D)A总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在4设asin，bcos，ctan，则(
5、D)AabcBacbCbcaDbac解析，作出角的三角函数线如图可知，cossinM2P2，AT1OM2，又sinM1P1，sinM2P2，tanAT1，tanAT2，cosOM1，cosOM2，(1)sinsin.(2)tancos.规律总结利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向跟踪练习1在单位圆中画出适合下列条件的角的终边(1)sin；(2)cos；(3)tan2；解析(1)作直线y交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角的终边，如图.(2)作直线x交单位圆M、N两点，则OM
6、与ON为角的终边如图.(3)在直线x1上截取AT2，其中点A的坐标为(1,0)，设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角的终边如图.命题方向2利用三角函数线求角的范围典例2根据下列条件，求角的取值集合：(1)sin；(2)sin；(3)cos.思路分析根据三角函数线，首先在单位圆中作出满足sin，sin，cos的角的终边，然后确定满足条件的角的范围解析(1)已知角的正弦值，可知MP，则点P纵坐标为，所以在y轴上取点(0，)，过这点作x轴的平行线y，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因此角的集合为|2k或2k，kZ，如图.(2)如图所示，作直线y交单位圆于A，B两点
7、，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ(3)如图所示，作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ规律总结利用三角函数线求角的取值集合，关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sinxb，cosxa.(或sinxb，cosxa)，只需作直线yb，xa与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在位置，此时根据方向即可确定相应的x的范围；对于tanxc(或tanxc)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在直线的位置，结合图形可得跟踪
8、练习2已知tan，求角的取值集合解析已知角的正切值，可得AT，取点T(1，)，则OT即为角的终边(或终边的反向延长线)，因此角的取值集合为|2k2k或2k2k，kZ.X 利用三角函数线证明几何结论 典例3设是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sintan.思路分析sin、tan分别用正弦线、正切线表示出来，用它所对的弧表示出来，从而使关系式得证证明如图所示，设角的终边交单位圆于P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP于点T，连接PA，则sinMP，tanAT，SOAPS扇形OAPSOAT，|OA|MP|OA|2|OA|AT|.又|OA|1，|MP|AT|，即M
9、PAT.sintan.规律总结解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围跟踪练习3已知是锐角，求证：1sincos|OP|，sincos1.SOAP|OA|QP|ysin，SOBP|OB|RP|xcos，S扇形OAB12.又SOAPSOBPS扇形OAB，sincos，即sincos.综上可知1sincos.Y 忽视角的范围致误 典例4若02，且sin.利用三角函
10、数线，得到的取值范围是_.错解利用三角函数线可得所求角的范围是(，)错解错在什么地方？你能发现吗？怎样避免这类错误呢？提示：上述错解忽视了角范围的大前提是(0,2)，从而导致错误正解(0，)(，2)利用三角函数线得的终边落在如图所示AOB区域内，所以的取值范围是(0，)(，2)误区警示当所求角的范围包含了终边落在x轴非负半轴上的角时，应特别注意角的范围的表达形式，这时可以用一个区间来表示，也可用两个区间并集来表示跟踪练习4求函数ylg(1cosx)的定义域解析如图所示，cosx，x(2k，2k2k，2k)(kZ)，即x(k，k)或x2k或x2k，(kZ)，函数定义域为x|kxk，或x2k或x2k，kZK 1下列四个命题：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同正弦线的角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角终边在同一直线上其中不正确的有(B)A0个B1个C2个D3个解析有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相等，所以错，均正确2已知角是第四象限角，则角的正弦线MP是下图中的(A)3sin，cos， 的大小关系是(D)AsincosBsincosCcossinDcossin4若角的余弦线长度为，且方向与x轴负方向相同，则cos_.