1、第5讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用1(2014陕西高考)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x Bf(x)x3Cf(x)x Df(x)3x【解析】axyaxay，满足f(xy)f(x)f(y)，所以可选定C，D项，再根据为单调递增函数，故选D.【答案】D2(2014辽宁高考)已知a2，blog2，clog，则()Aabc Bacb Ccab Dcba【解析】a2，0a1，blog2log1，bac.故选C.【答案】C3(2014福建高考)若函数ylogax( a0，且a1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是 ()【解析】因为函数ylogax
2、过点(3,1)，所以1loga 3，解得a3，y3x不可能过点(1,3)，排除A；y(x)3x3不可能过点(1,1)，排除C; ylog3(x)不可能过点(3，1), 排除D，故选B.【答案】B4(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ()A. B.C. D.1【解析】由题意，设年平均增长率为x则(1x)2(1p)(1q)，解得x1.【答案】D5(2014北京高考)已知函数f(x)log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,4) D(4，)【解析】因为f(2)lo
3、g223120f(4)log2420，故选C.【答案】C从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1基本初等函数的图象、性质及应用基本初等函数的图象、性质及应用是高考命题的热点内容之一，此类题命题背景宽，且常考常新，是近几年高考的一个重要考向多以选择题、填空题形式出现，考查学生的运算、推理、识别图象的能力，既可命制低、中档题，也可命制高档题2函数零点的确定及应用函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查的内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点常以基本初等函数(特别是幂函数与指数函数、对数函数、三角函数的结合)为载体，考查确定函数零点的个数和存在区间，或
4、应用零点存在情况求参数的值(或取值范围)试题主要以选择题、填空题为主，属低、中档题3函数的新信息题此类问题命题以函数的图象与性质为背景创设新情景，通常从定义的新运算、新概念或新性质入手，考查函数的图象与单调性、最值(值域)以及零点等函数性质，常与方程、不等式问题结合，形成知识的交汇问题，成为近几年高考的一个亮点试题以选择题、填空题为主，考查学生的信息迁移及分析问题、解决问题的能力，属中、高档题.【例1】(1)(2014山东高考)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1，c1 D0a1,0c1(2)(2014
5、重庆高考)函数f(x)log2log(2x)的最小值为_(3)设alog2 ，blog，c2，则()Aabc BbacCacb Dcba【解析】(1)由图象知：函数单调递减，0a1.又图象向左平移与x轴交点在(0,1)间，0c1，故选D.(2)依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x(log2x)2，当且仅当log2x，即x时等号成立，因此函数f(x)的最小值为.(3)log21，log0,021，acb，故选C.【答案】(1)D(2)(3)C【规律感悟】1.对于含ax、a2x、logax的表达式，通常可以令tax或tlogax进行换元，但换元过程中一定要注意新元
6、的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系2比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较创新预测1(1)(2014安徽高考)()loglog_.【解析】()log3log3()3log.【答案】(2)(预测题)函数yxx1在x3,2上的值域是_【解析】因为x3,2，若令tx，则t.则yt2t12.当t时ymin；当t8时，ymax57.其值域为.【答案】【例2】(1)(2014福建高考)函数f(x)的零点个数是_(2)(2014天津高考)已知函数f(x)若
7、函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_【解析】(1)当x0时，由x220，解得x或x(舍)，此时f(x)有一个零点，当x0时，方程2x6ln x0等价于ln x62x，分别画出函数yln x与y62x(x0)的图象，两图象有一个交点，此时原函数f(x)有一个零点，综上，所求函数f(x)有两个零点(2)原问题等价于方程f(x)a|x|恰有4个根，作出函数yf(x)与ya|x|的图象如图当x0时，由(x25x4)ax得x2(5a)x40由0解之得a1或a9(舍)结合图象知a(1,2)【答案】(1)2(2)(1,2)【规律感悟】1.确定函数零点存在区间及个数的“两个”方法：(1)
8、利用零点存在的判定定理(2)利用数形结合法当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时，常用数形结合法求解2应用函数零点的情况求参数值或取值范围的“三个”方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解创新预测2(1)(2014潍坊联考)函数|log2x|()x的零点个数是()A0 B1C2 D4【解析】令y|log2x|()x0，即|log2x|()x，在同一坐标系下作出y|log2x|和y()2的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即
9、函数有2个零点【答案】C(2)(2014太原模拟)已知定义在R上的函数yf(x)对任意的x都满足f(x1)f(x)，当1x1，由图象可知要使函数g(x)f(x)loga|x|至少有6个零点，则满足m(5)loga55，若0a1，由图象可知要使函数g(x)f(x)loga|x|至少有6个零点，则满足m(5)loga51，此时00，函数y1(10m)x20在0,200上是增函数，所以当x200时，生产A产品有最大利润，且y1max(10m)200201 980200m(万美元)又y20.05(x100)2460(xN,0x120)，所以当x100时，生产B产品有最大利润，且y2max460(万美元
10、)因为y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以当6m7.6时，可投资生产A产品200件；当m7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)；当7.6m8时，可投资生产B产品100件.数学模型的建立与应用将信息资料进行归纳整理，将实际问题抽象为数学问题，用数学语言正确描述，都是应用意识的具体体现而应用的过程需要依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，从而完成数学模型的构造，并加以解决【典例】(2014北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关
11、系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟【解析】由题知0.79a3bc，0816a4bc，0525a5b，c解得a0.2，b1.5，c2.0，所以p0.2t21.5t2.0，当t3.75时p有最大值，故选B.【答案】B【规律感悟】应用意识的考查反映在函数模型上，主要考查最值问题，如二次函数的最值、基本不等式与最值等这部分内容试题背景新颖，常与实际生活、社会热点相关联熟练掌握各种基本初等函数模型是解决实际应用问题、进行数学建模的基础，在建模时要注意自变量的实际意
12、义对问题的影响，并选择适宜的方法进行求解建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1(2014安徽高考)“x0”是“ln (x1)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】ln (x1)00x111x0，而(1,0)是(，0)的真子集，所以“x0”是“ln (x1)0在(0，)上恒成立，所以y在(0，)上为增函数，故选A.【答案】A3(2014山东高考)已知实数x，y满足axay(0a Bln (x21)ln (y21)Csin xsin y Dx3y3【解析】axay且0ay(x，yR)而此时x2不一定大于y2，所以x21不一定大于y21，因此
13、A，B都不对，显然C不对故选D.【答案】D4(预测题)已知函数f(x)则函数yff(x)1的零点个数是()A2 B3C4 D5【解析】当f(x)0时，x1或x1，故ff(x)10时，f(x)11或1.当f(x)11，即f(x)2时，解得x3或x；当f(x)11，即f(x)0时，解得x1或x1.故函数yff(x)1有四个不同的零点【答案】C5(2014衡水中学二调)已知函数f(x)，则方程f(x)ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是(注：e为自然对数的底数)()A(0，) B，)C(0，) D，e)【解析】ylnx(x1)，y，设切点为(x0，y0)，切线方程为yy0(xx0)，ylnx
14、0(xx0)，若其与yax相同，则a，lnx010，x0e，a.当直线yax与yx1平行时，直线为yx，当x1时，lnxxln 10，当xe3时，ln xxln e3e30，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.【解析】2a3b4，f(1)loga11b1b0，f(2)loga22b1，13b0，即f(2)f(3)0，故x0(2,3)，即n2.【答案】28.(2013陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)【解析】设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(
15、x20)2400，当x20 m时，面积最大【答案】20三、解答题9对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)(xR)(1)求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)c恰有一个、两个、三个实根，试分别求出实数c的取值范围【解】(1)当(x22)(xx2)1，即1x时，f(x)x22；当(x22)(xx2)1，即x，或x1时，f(x)xx2.f(x)当1x时，2f(x)；当x1或x时，f(x)；函数f(x)的值域为(，(2)画出函数yf(x)的图象(如下图)，知：当c，时有一个实根，当c(，2(1，)时有两个实根，当c(2，1时有三个实根10(2014山东德州一模)某家庭进
16、行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【解】(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20x)万元依题意得yf(x)g(20x)(0x20)令t(0t2)，则yt(t2)23，所以当t2，即x16时，收益最大，ymax3万元