1、第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角 学 习 目 标 1了解角的概念的推广过程2理解任意角的概念3认识终边相同的角并会简单表示知识点一|任意角阅读教材P2P3，完成下列问题知识梳理1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2角的表示如图所示，OA是角的始边，OB是角的终边，O是角的顶点角可记为“角”或“”或简记为“”3角的分类名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角小试身手1图中从OA旋转到OB、OB1、OB2时所成的角度分别是 、 、 .解析：图(1)中的角是一个正角，390.图(
2、2)中的角一个是负角、一个是正角，150，60.答案：39015060知识点二象限角与终边相同的角阅读教材P3P5，完成下列问题知识梳理1象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限点睛象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合2终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和点睛对终边相同的角的理解(1)为任意角，“kZ”这一条件不能漏
3、(2)k360与中间用“”连接，k360可理解成k360()(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍终边不同，则表示的角一定不同思考辨析判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)30是第四象限角()(2)钝角是第二象限角()(3)终边与始边重合的角是零角()答案：(1)(2)(3)小试身手2与457角终边相同的角的集合是()A|k360457，kZB|k36097，kZC|k360263，kZD|k360263，kZ解析：选C2634573602，所以263角与457角的终边相同，所以与457角终边相同的
4、角可写作k360263，kZ.3(2019潍坊月考)与1 560角终边相同的角的集合中，最小正角是 ，最大负角是 解析：与1 560角终边相同的角的集合为|k360240，kZ，所以最小正角为240，最大负角为120.答案：240120题型一终边相同的角的表示【例1】写出与75角终边相同的角的集合，并求在3601 080范围内与75角终边相同的角解与75角终边相同的角的集合为S|k36075，kZ当3601 080，即360k360751 080时，解得k2.又kZ，所以k1或k2.当k1时，435；当k2时，795.综上所述，与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角
5、.方 法 总 结1确定在某范围内终边相同的角的基本思路求与已知角终边相同的角，先将这样的角表示成k360(kZ)的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定k的值，求出满足条件的角2终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.1下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是()A37B143C379 D143解析：选D与37角的终边在同一直线上的角可表示为37k180，kZ，当k1时，37180143，故选D.2(2018青岛二中月考)与468角的终边相同的角的集合是()A|
6、k360456，kZB|k360252，kZC|k36096，kZD|k360252，kZ解析：选B因为4682360252，所以252角与468角的终边相同，所以与468角的终边相同的角为k360252，kZ，故选B.象限角的判定【例2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在0360范围内与其终边相同的角(1)405；(2)45；(3)495；(4)520.解如图所示由图可知：(1)405角是第一象限角；(2)45角是第四象限角；(3)495角是第二象限角；(4)520角是第三象限角(1)40545360，所以在0360
7、范围内，与405角终边相同的角是45角(2)45315360，所以在0360范围内，与45角终边相同的角是315角(3)495135360，所以在0360范围内，与495角终边相同的角是135角(4)5202002360，所以在0360范围内，与520角终边相同的角是200角方 法 总 结象限角的判定方法(1)根据图象判定依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360范围内没有两个角终边是相同的. 3(2018福建厦门双十中学高一月考)若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A9
8、0 B90C360 D180解析：选C若是第一象限角，则90是第一象限角，90是第二象限角，360是第四象限角，180是第三象限角，故选C4在直角坐标系中，写出下列角的集合(1)终边落在x轴的非负半轴上；(2)终边落在yx(x0)上；(3)终边落在直线yx上解：(1)终边落在x轴的非负半轴上的角与0角的终边重合，故终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为|k360，kZ(2)yx(x0)表示第一象限内的一条射线，终边落在yx(x0)上的角与60角的终边重合，故终边落在yx(x0)上的角的集合为|k36060，kZ(3)由(2)知终边落在yx(x0)上的角为k360602k18060(kZ)，又终边
9、落在yx(x0)上的角与240角的终边重合，为k360240k36018060(2k1)18060(kZ)，终边落在直线yx上的角的集合为|k36060，kZ|k360240，kZ|k18060，kZ题型三角(nN*)所在象限的判定互动探究【例3】若是第二象限角，则是第几象限角？解解法一：是第二象限角，k36090k360180(kZ)3604536090(kZ)当k为偶数时，令k2n(nZ)，得n36045n36090，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，得n360225n360270，这表明是第三象限角为第一或第三象限角解法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的
10、上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角【探究1】在本例条件下，求角2的终边所在位置解是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角2的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上【探究2】若本例条件中角变为第三象限角，求是第几象限角解如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角.方 法 总 结分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角终边所在的象限，确定终边所在的象限，分
11、类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，k被n除余n1.然后方可下结论几何法依据数形结合思想，简单直观(2)已知角终边所在的象限，确定n终边所在的象限，可依据角的范围求出n的范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉n的终边在坐标轴上的情况1掌握1个重点在0360范围内找与给定角终边相同的角的方法把任意角化为k360(kZ且0360)的形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法2关注2种思想(1)n所在象限的判断方法注意转化思想的运用(2)所在象限的判断方法注意分类讨论思想的运用3辨明2个易错点(1)象限角是以角的终边的位置分类
12、的，而锐角、钝角和直角是以角的大小分类的，不能将它们混淆同时要注意第一象限角、锐角、小于90的角三者的区别(2)用分类讨论法解决分角象限问题时要注意找准分类角度，分类要做到不重不漏，切忌以偏概全自测检评1下列命题正确的是()A终边与始边重合的角是零角B终边和始边都相同的两个角一定相等C90180间的角不一定是钝角D小于90的角是锐角解析：选C终边与始边重合的角还可能是360，720，故A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360的整数倍，如30与330，故B错误；由于90180间的角包含90角，所以不一定是钝角，C正确；小于90的角可能是0，也可以是负角，故D错误故选C2(2018山西运城一
13、中高一月考)若角，的终边相同，则的终边在()Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上 Dy轴的非正半轴上解析：选A由于角，的终边相同，所以k360，kZ，所以k360，kZ，则的终边在x轴的非负半轴上，故选A3(2019陕西黄陵中学高一期末)若钟表的时针走过2小时40分，则分针转过的角度为()A80 B80C960 D960解析：选D4060，360240，分针是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为2360240960，故选D.4若是第一象限角，则是()A第一象限角 B第四象限角C第二或第三象限角 D第二或第四象限角解析：选D解法一：由题意知k360k36090，kZ，则k180k18045，kZ，所以k18045k180，kZ.当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角故选D.解法二：由几何法易知为第一象限角或第三象限角，根据与的终边关于x轴对称，知为第四象限角或第二象限角故选D.5已知是第二象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选A由是第二象限角可得，90k360180180(180k360)(kZ)，即90k360180k360(kZ)，所以180为第一象限角故选A